Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{8}{x^{2} - 4 x}$

Étape 1

Écrivez $\frac{8}{x^{2} - 4 x}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{8}{x^{2} - 4 x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8}{x^{2} - 4 x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - 4 x}$ comme ${(x^{2} - 4 x)}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x)}^{- 1}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - 4 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4 x$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4 x$ .

$8 (- {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 ({(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Étape 2.3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \cdot 1)$

Étape 2.3.6

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $- 8$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

Étape 2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$ .

$- (2 x - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$(- (2 x) - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- 2 x - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.4.6

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.4.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 4 x$ .

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Étape 2.4.7.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.4.7.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x + x \cdot - 4)}^{2}}$

Étape 2.4.7.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x (x - 4))}^{2}}$

Étape 2.4.7.2

Appliquez la règle de produit à $x (x - 4)$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.4.8

Multipliez $- 2 x + 4$ par $\frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 x + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 4$ .

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Étape 2.4.9.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{(2 (- x) + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.4.9.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{(2 (- x) + 2 (2)) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.4.9.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (- x + 2) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.4.9.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{16 (- x + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{16 (- (x) + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.4.11

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{16 (- (x) - 1 (- 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.4.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{16 (- (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.4.13

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{16 (- 1 (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.4.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} \frac{x - 2}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 2$ et $g (x) = x^{2} {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 4$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 4$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez.

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Étape 3.6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.6.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) (1 + 0)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) \cdot 1) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.6.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.6.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.6.6

Associez les fractions.

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Étape 3.6.6.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 \cdot ({(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.6.6.2

Associez $- 16$ et $\frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x)}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.6.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Appliquez la règle de produit à $x^{2} {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x + 2 \cdot - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 ((- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.6.1

Factorisez $16$ à partir de $16 x^{2} {(x - 4)}^{2} + 16 (- x - - 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x)$ .

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Étape 3.7.6.1.1

Factorisez $16$ à partir de $16 x^{2} {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.1.2

Factorisez $16$ à partir de $16 (- x - - 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 ((- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.1.3

Factorisez $16$ à partir de $16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 ((- x - - 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.2

Réécrivez ${(x - 4)}^{2}$ comme $(x - 4) (x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} ((x - 4) (x - 4)) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.3

Développez $(x - 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.7.6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x (x - 4) - 4 (x - 4)) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.7.6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.6.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.4.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.4.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.4.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} - 8 x + 16) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.6

Simplifiez

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Étape 3.7.6.6.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.6.6.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2 + 2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.6.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.6.3

Déplacez $16$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{2} x + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.7

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.6.7.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.7.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.6.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{1 + 2} + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.8

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.6.9.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.6.9.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.7.6.9.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.4

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.5

Réécrivez ${(x - 4)}^{2}$ comme $(x - 4) (x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 ((x - 4) (x - 4)) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.6

Développez $(x - 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.7.6.9.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.7.6.9.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.6.9.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.7.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.7.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.7.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} - 8 x + 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.8

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + (2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.6.9.9.1

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + (2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.9.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + (2 x^{2} - 16 x + 32) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.10

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{2} x - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.6.9.11.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.6.9.11.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.11.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.6.9.11.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.11.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{1 + 2} - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.11.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{3} - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.11.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.6.9.11.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{3} - 16 (x \cdot x) + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.9.11.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{3} - 16 x^{2} + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.10

Additionnez $2 x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (4 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x^{2} + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.11

Soustrayez $16 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.12

Développez $(- x + 2) (4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - x (4 x^{3}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.6.13.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x^{3}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.13.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.6.13.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.13.2.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.6.13.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.13.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{3 + 1}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.13.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{4}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.13.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.13.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x \cdot x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.13.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.6.13.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 (x^{2} x)) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.13.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.6.13.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 (x^{2} x)) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.13.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{2 + 1}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.13.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{3}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.13.6

Multipliez $- 1$ par $- 24$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.13.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 1 \cdot (32 x \cdot x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.13.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.6.13.8.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 1 \cdot (32 (x \cdot x)) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.13.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 1 \cdot (32 x^{2}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.13.9

Multipliez $- 1$ par $32$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.13.10

Multipliez $4$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 8 x^{3} + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.13.11

Multipliez $- 24$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 8 x^{3} - 48 x^{2} + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.13.12

Multipliez $32$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 8 x^{3} - 48 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.14

Additionnez $24 x^{3}$ et $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{3} - 32 x^{2} - 48 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.15

Soustrayez $48 x^{2}$ de $- 32 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{3} - 80 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.16

Soustrayez $4 x^{4}$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + 32 x^{3} - 80 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.17

Additionnez $- 8 x^{3}$ et $32 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 16 x^{2} - 80 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.18

Soustrayez $80 x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.19

Réécrivez $- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x$ en forme factorisée.

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Étape 3.7.6.19.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x$ .

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Étape 3.7.6.19.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.19.1.2

Factorisez $x$ à partir de $24 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2}) - 64 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.19.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 64 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2}) + x (- 64 x) + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.19.1.4

Factorisez $x$ à partir de $64 x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2}) + x (- 64 x) + x \cdot 64)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.19.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3} + 24 x^{2}) + x (- 64 x) + x \cdot 64)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.19.1.6

Factorisez $x$ à partir de $x (- 3 x^{3} + 24 x^{2}) + x (- 64 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x) + x \cdot 64)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.19.1.7

Factorisez $x$ à partir de $x (- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x) + x \cdot 64$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.6.19.2

Factorisez $- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 3.7.6.19.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 3.7.6.19.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 64, \pm 21.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 32, \pm 10.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 16, \pm 5.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}$

Étape 3.7.6.19.2.3

Remplacez $4$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $4$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.7.6.19.2.3.1

Remplacez $4$ dans le polynôme.

$- 3 \cdot 4^{3} + 24 \cdot 4^{2} - 64 \cdot 4 + 64$

Étape 3.7.6.19.2.3.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- 3 \cdot 64 + 24 \cdot 4^{2} - 64 \cdot 4 + 64$

Étape 3.7.6.19.2.3.3

Multipliez $- 3$ par $64$ .

$- 192 + 24 \cdot 4^{2} - 64 \cdot 4 + 64$

Étape 3.7.6.19.2.3.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- 192 + 24 \cdot 16 - 64 \cdot 4 + 64$

Étape 3.7.6.19.2.3.5

Multipliez $24$ par $16$ .

$- 192 + 384 - 64 \cdot 4 + 64$

Étape 3.7.6.19.2.3.6

Additionnez $- 192$ et $384$ .

$192 - 64 \cdot 4 + 64$

Étape 3.7.6.19.2.3.7

Multipliez $- 64$ par $4$ .

$192 - 256 + 64$

Étape 3.7.6.19.2.3.8

Soustrayez $256$ de $192$ .

$- 64 + 64$

Étape 3.7.6.19.2.3.9

Additionnez $- 64$ et $64$ .

$0$

Étape 3.7.6.19.2.4

Comme $4$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 4$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64}{x - 4}$

Étape 3.7.6.19.2.5

Divisez $- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64$ par $x - 4$ .

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Étape 3.7.6.19.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$4$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$64 x$

$64$

Étape 3.7.6.19.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$3 x^{2}$
	$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$

Étape 3.7.6.19.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			-	$3 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Étape 3.7.6.19.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{3} + 12 x^{2}$

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Étape 3.7.6.19.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

Étape 3.7.6.19.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$

Étape 3.7.6.19.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $12 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$

Étape 3.7.6.19.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$48 x$

Étape 3.7.6.19.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $12 x^{2} - 48 x$

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$

Étape 3.7.6.19.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$

Étape 3.7.6.19.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$

Étape 3.7.6.19.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 16 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$

Étape 3.7.6.19.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$
							-	$16 x$	+	$64$

Étape 3.7.6.19.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 16 x + 64$

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$
							+	$16 x$	-	$64$

Étape 3.7.6.19.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$
							+	$16 x$	-	$64$
										$0$

Étape 3.7.6.19.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- 3 x^{2} + 12 x - 16$

Étape 3.7.6.19.2.6

Écrivez $- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64$ comme un ensemble de facteurs.

$f'' (x) = - \frac{16 (x ((x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{16 (x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.7

Associez des termes.

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Étape 3.7.7.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.7.7.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{2 \cdot 2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.7.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{4} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.7.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 4)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.7.7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{4} {(x - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.7.7.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 3.7.7.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 3.7.7.3.1

Factorisez $x$ à partir de $16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{x ((16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 3.7.7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.7.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{x ((16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x (x^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Étape 3.7.7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{x ((16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x (x^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Étape 3.7.7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{(16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 3.7.7.4

Annulez le facteur commun à $x - 4$ et ${(x - 4)}^{4}$ .

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Étape 3.7.7.4.1

Factorisez $x - 4$ à partir de $16 (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 3.7.7.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.7.4.2.1

Factorisez $x - 4$ à partir de $x^{3} {(x - 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{(x - 4) (x^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Étape 3.7.7.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{(x - 4) (x^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Étape 3.7.7.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 3.7.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) + 12 x - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 3.7.9

Factorisez $- 1$ à partir de $12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) - (- 12 x) - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 3.7.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (- 12 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 12 x) - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 3.7.11

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 12 x) - 1 \cdot 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 3.7.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} - 12 x) - 1 (16)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 12 x + 16))}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 3.7.13

Réécrivez $- (3 x^{2} - 12 x + 16)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 12 x + 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 1 (3 x^{2} - 12 x + 16))}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 3.7.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 3.7.15

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}})$

Étape 3.7.16

Multipliez $\frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 5.1.1.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8}{x^{2} - 4 x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - 4 x}$ comme ${(x^{2} - 4 x)}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x)}^{- 1}]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - 4 x$ .

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Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4 x$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4 x$ .

$8 (- {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Étape 5.1.3

Différenciez.

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Étape 5.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 ({(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Étape 5.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Étape 5.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Étape 5.1.3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \cdot 1)$

Étape 5.1.3.6

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4)$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

Étape 5.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 5.1.4.2.1

Associez $- 8$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

Étape 5.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

Étape 5.1.4.3

Réorganisez les facteurs de $- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$ .

$- (2 x - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Étape 5.1.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$(- (2 x) - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Étape 5.1.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- 2 x - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Étape 5.1.4.6

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Étape 5.1.4.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.4.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 4 x$ .

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Étape 5.1.4.7.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x - 4 x)}^{2}}$

Étape 5.1.4.7.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x + x \cdot - 4)}^{2}}$

Étape 5.1.4.7.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x (x - 4))}^{2}}$

Étape 5.1.4.7.2

Appliquez la règle de produit à $x (x - 4)$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.1.4.8

Multipliez $- 2 x + 4$ par $\frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 x + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.1.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 4$ .

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Étape 5.1.4.9.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{(2 (- x) + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.1.4.9.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{(2 (- x) + 2 (2)) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.1.4.9.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (- x + 2) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.1.4.9.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{16 (- x + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.1.4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{16 (- (x) + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.1.4.11

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{16 (- (x) - 1 (- 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.1.4.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{16 (- (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.1.4.13

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{16 (- 1 (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.1.4.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$16 (x - 2) = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $16 (x - 2) = 0$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1.1

Divisez chaque terme dans $16 (x - 2) = 0$ par $16$ .

$\frac{16 (x - 2)}{16} = \frac{0}{16}$

Étape 6.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 6.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 (x - 2)}{16} = \frac{0}{16}$

Étape 6.3.1.2.1.2

Divisez $x - 2$ par $1$ .

$x - 2 = \frac{0}{16}$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1.3.1

Divisez $0$ par $16$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 7.2.2

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.2.2.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 7.2.2.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.2.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 7.2.2.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 7.2.2.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 7.2.2.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 7.2.2.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7.2.3

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.2.3.1

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 7.2.3.2

Résolvez ${(x - 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 7.2.3.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 7.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, 4$

Étape 7.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = 0, x = 4$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{16 (3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 16)}{{(2)}^{3} {((2) - 4)}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{16 (3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Étape 10.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{16 (12 - 12 \cdot 2 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Étape 10.1.3

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$\frac{16 (12 - 24 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Étape 10.1.4

Soustrayez $24$ de $12$ .

$\frac{16 (- 12 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Étape 10.1.5

Additionnez $- 12$ et $16$ .

$\frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $4$ de $2$ .

$\frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(- 2)}^{3}}$

Étape 10.2.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{16 \cdot 4}{8 {(- 2)}^{3}}$

Étape 10.2.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{16 \cdot 4}{8 \cdot - 8}$

Étape 10.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.1

Multipliez $16$ par $4$ .

$\frac{64}{8 \cdot - 8}$

Étape 10.3.2

Multipliez $8$ par $- 8$ .

$\frac{64}{- 64}$

Étape 10.3.3

Divisez $64$ par $- 64$ .

$- 1$

Étape 11

$x = 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{8}{{(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 12.2.1.1

Annulez le facteur commun à $8$ et ${(2)}^{2} - 4 \cdot 2$ .

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Étape 12.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2^{2} - 4 \cdot 2}$

Étape 12.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{2}$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2 - 4 \cdot 2}$

Étape 12.2.1.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \cdot 2$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2)}$

Étape 12.2.1.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2)$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot (2 - 2 \cdot 2)}$

Étape 12.2.1.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot (2 - 2 \cdot 2)}$

Étape 12.2.1.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$f (2) = \frac{4}{2 - 2 \cdot 2}$

Étape 12.2.1.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2 - 2 \cdot 2$ .

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Étape 12.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (2) = \frac{2 (2)}{2 - 2 \cdot 2}$

Étape 12.2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1 - 2 \cdot 2}$

Étape 12.2.1.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cdot 2$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1 + 2 (- 1 \cdot 2)}$

Étape 12.2.1.2.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2)$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1 - 1 \cdot 2)}$

Étape 12.2.1.2.2.4

Annulez le facteur commun.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1 - 1 \cdot 2)}$

Étape 12.2.1.2.2.5

Réécrivez l’expression.

$f (2) = \frac{2}{1 - 1 \cdot 2}$

Étape 12.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (2) = \frac{2}{1 - 2}$

Étape 12.2.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (2) = \frac{2}{- 1}$

Étape 12.2.3

Divisez $2$ par $- 1$ .

$f (2) = - 2$

Étape 12.2.4

La réponse finale est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{8}{x^{2} - 4 x}$ .

$(2, - 2)$ est un maximum local

Étape 14