Calcul infinitésimal Exemples

${(t^{2} - 4)}^{3}$

Étape 1

Écrivez ${(t^{2} - 4)}^{3}$ comme une fonction.

$f (t) = {(t^{2} - 4)}^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = t^{2} - 4$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2} - 4$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} - 4$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])$

Étape 2.2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $t$ est $0$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + 0)$

Étape 2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.4.1

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t)$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 {(t^{2} - 4)}^{2} t$

Étape 2.2.4.3

Réorganisez les facteurs de $6 {(t^{2} - 4)}^{2} t$ .

$6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$ par rapport à $t$ est $6 \frac{d}{d t} [t {(t^{2} - 4)}^{2}]$ .

$f'' (t) = 6 \frac{d}{d t} (t {(t^{2} - 4)}^{2})$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = {(t^{2} - 4)}^{2}$ .

$f'' (t) = 6 (t \frac{d}{d t} ({(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = t^{2} - 4$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{2} - 4$ .

$f'' (t) = 6 (t (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d t} (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (t) = 6 (t (2 u \frac{d}{d t} (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2} - 4$ .

$f'' (t) = 6 (t (2 (t^{2} - 4) \frac{d}{d t} (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} - 4$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$f'' (t) = 6 (t (2 (t^{2} - 4) (\frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 4))) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (t) = 6 (t (2 (t^{2} - 4) (2 t + \frac{d}{d t} (- 4))) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 3.4.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $t$ est $0$ .

$f'' (t) = 6 (t (2 (t^{2} - 4) (2 t + 0)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 3.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.4.1

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$f'' (t) = 6 (t (2 (t^{2} - 4) (2 t)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 3.4.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (t) = 6 (t (4 (t^{2} - 4) t) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 3.5

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$f'' (t) = 6 (t \cdot t (4 (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 3.6

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$f'' (t) = 6 (t \cdot t (4 (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (t) = 6 (t^{1 + 1} (4 (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (t) = 6 (t^{2} (4 (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} (t))$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (t) = 6 (t^{2} (4 (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2} \cdot 1)$

Étape 3.10

Multipliez ${(t^{2} - 4)}^{2}$ par $1$ .

$f'' (t) = 6 (t^{2} (4 (t^{2} - 4)) + {(t^{2} - 4)}^{2})$

Étape 3.11

Simplifiez

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Étape 3.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (t) = 6 (t^{2} (4 t^{2} + 4 \cdot - 4) + {(t^{2} - 4)}^{2})$

Étape 3.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (t) = 6 (t^{2} (4 t^{2}) + t^{2} (4 \cdot - 4) + {(t^{2} - 4)}^{2})$

Étape 3.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (t) = 6 (t^{2} (4 t^{2})) + 6 (t^{2} (4 \cdot - 4)) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Étape 3.11.4

Associez des termes.

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Étape 3.11.4.1

Multipliez $t^{2}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.11.4.1.1

Déplacez $t^{2}$ .

$f'' (t) = 6 (t^{2} t^{2} \cdot 4) + 6 (t^{2} (4 \cdot - 4)) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Étape 3.11.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (t) = 6 (t^{2 + 2} \cdot 4) + 6 (t^{2} (4 \cdot - 4)) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Étape 3.11.4.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (t) = 6 (t^{4} \cdot 4) + 6 (t^{2} (4 \cdot - 4)) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Étape 3.11.4.2

Déplacez $4$ à gauche de $t^{4}$ .

$f'' (t) = 6 (4 \cdot t^{4}) + 6 (t^{2} (4 \cdot - 4)) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Étape 3.11.4.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} + 6 (t^{2} (4 \cdot - 4)) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Étape 3.11.4.4

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} + 6 (t^{2} \cdot - 16) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Étape 3.11.4.5

Déplacez $- 16$ à gauche de $t^{2}$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} + 6 (- 16 \cdot t^{2}) + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Étape 3.11.4.6

Multipliez $- 16$ par $6$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 {(t^{2} - 4)}^{2}$

Étape 3.11.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.5.1

Réécrivez ${(t^{2} - 4)}^{2}$ comme $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 ((t^{2} - 4) (t^{2} - 4))$

Étape 3.11.5.2

Développez $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.11.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{2} (t^{2} - 4) - 4 (t^{2} - 4))$

Étape 3.11.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 (t^{2} - 4))$

Étape 3.11.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4)$

Étape 3.11.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.11.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.5.3.1.1

Multipliez $t^{2}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.11.5.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4)$

Étape 3.11.5.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{4} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4)$

Étape 3.11.5.3.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $t^{2}$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{4} - 4 \cdot t^{2} - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4)$

Étape 3.11.5.3.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{4} - 4 t^{2} - 4 t^{2} + 16)$

Étape 3.11.5.3.2

Soustrayez $4 t^{2}$ de $- 4 t^{2}$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 (t^{4} - 8 t^{2} + 16)$

Étape 3.11.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 t^{4} + 6 (- 8 t^{2}) + 6 \cdot 16$

Étape 3.11.5.5

Simplifiez

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Étape 3.11.5.5.1

Multipliez $- 8$ par $6$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 t^{4} - 48 t^{2} + 6 \cdot 16$

Étape 3.11.5.5.2

Multipliez $6$ par $16$ .

$f'' (t) = 24 t^{4} - 96 t^{2} + 6 t^{4} - 48 t^{2} + 96$

Étape 3.11.6

Additionnez $24 t^{4}$ et $6 t^{4}$ .

$f'' (t) = 30 t^{4} - 96 t^{2} - 48 t^{2} + 96$

Étape 3.11.7

Soustrayez $48 t^{2}$ de $- 96 t^{2}$ .

$f'' (t) = 30 t^{4} - 144 t^{2} + 96$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$6 t {(t^{2} - 4)}^{2} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = t^{2} - 4$ .

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Étape 5.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

Étape 5.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2} - 4$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} - 4$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])$

Étape 5.1.2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $t$ est $0$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + 0)$

Étape 5.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.2.4.1

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t)$

Étape 5.1.2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 {(t^{2} - 4)}^{2} t$

Étape 5.1.2.4.3

Réorganisez les facteurs de $6 {(t^{2} - 4)}^{2} t$ .

$f' (t) = 6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (t)$ par rapport à $t$ est $6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$ .

$6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 t {(t^{2} - 4)}^{2} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 t {(t^{2} - 4)}^{2} = 0$

Étape 6.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t = 0$

${(t^{2} - 4)}^{2} = 0$

Étape 6.3

Définissez $t$ égal à $0$ .

$t = 0$

Étape 6.4

Définissez ${(t^{2} - 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 6.4.1

Définissez ${(t^{2} - 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(t^{2} - 4)}^{2} = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez ${(t^{2} - 4)}^{2} = 0$ pour $t$ .

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Étape 6.4.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.4.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${(t^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Étape 6.4.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = t$ et $b = 2$ .

${((t + 2) (t - 2))}^{2} = 0$

Étape 6.4.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $(t + 2) (t - 2)$ .

${(t + 2)}^{2} {(t - 2)}^{2} = 0$

Étape 6.4.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(t + 2)}^{2} = 0$

${(t - 2)}^{2} = 0$

Étape 6.4.2.3

Définissez ${(t + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 6.4.2.3.1

Définissez ${(t + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(t + 2)}^{2} = 0$

Étape 6.4.2.3.2

Résolvez ${(t + 2)}^{2} = 0$ pour $t$ .

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Étape 6.4.2.3.2.1

Définissez le $t + 2$ égal à $0$ .

$t + 2 = 0$

Étape 6.4.2.3.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$t = - 2$

Étape 6.4.2.4

Définissez ${(t - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 6.4.2.4.1

Définissez ${(t - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(t - 2)}^{2} = 0$

Étape 6.4.2.4.2

Résolvez ${(t - 2)}^{2} = 0$ pour $t$ .

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Étape 6.4.2.4.2.1

Définissez le $t - 2$ égal à $0$ .

$t - 2 = 0$

Étape 6.4.2.4.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$t = 2$

Étape 6.4.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(t + 2)}^{2} {(t - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$t = - 2, 2$

Étape 6.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 t {(t^{2} - 4)}^{2} = 0$ vraie.

$t = 0, - 2, 2$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$t = 0, - 2, 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $t = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$30 {(0)}^{4} - 144 {(0)}^{2} + 96$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$30 \cdot 0 - 144 {(0)}^{2} + 96$

Étape 10.1.2

Multipliez $30$ par $0$ .

$0 - 144 {(0)}^{2} + 96$

Étape 10.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 144 \cdot 0 + 96$

Étape 10.1.4

Multipliez $- 144$ par $0$ .

$0 + 0 + 96$

Étape 10.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 10.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 96$

Étape 10.2.2

Additionnez $0$ et $96$ .

$96$

Étape 11

$t = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$t = 0$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $t = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $t$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {({(0)}^{2} - 4)}^{3}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = {(0 - 4)}^{3}$

Étape 12.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$f (0) = {(- 4)}^{3}$

Étape 12.2.3

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f (0) = - 64$

Étape 12.2.4

La réponse finale est $- 64$ .

$y = - 64$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $t = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$30 {(- 2)}^{4} - 144 {(- 2)}^{2} + 96$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$30 \cdot 16 - 144 {(- 2)}^{2} + 96$

Étape 14.1.2

Multipliez $30$ par $16$ .

$480 - 144 {(- 2)}^{2} + 96$

Étape 14.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$480 - 144 \cdot 4 + 96$

Étape 14.1.4

Multipliez $- 144$ par $4$ .

$480 - 576 + 96$

Étape 14.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 14.2.1

Soustrayez $576$ de $480$ .

$- 96 + 96$

Étape 14.2.2

Additionnez $- 96$ et $96$ .

$0$

Étape 15

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 15.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $t$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 15.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée première $6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.2.1

Remplacez la variable $t$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = 6 (- 4) {({(- 4)}^{2} - 4)}^{2}$

Étape 15.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.2.1

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$f' (- 4) = - 24 {({(- 4)}^{2} - 4)}^{2}$

Étape 15.2.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = - 24 {(16 - 4)}^{2}$

Étape 15.2.2.3

Soustrayez $4$ de $16$ .

$f' (- 4) = - 24 \cdot 12^{2}$

Étape 15.2.2.4

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = - 24 \cdot 144$

Étape 15.2.2.5

Multipliez $- 24$ par $144$ .

$f' (- 4) = - 3456$

Étape 15.2.2.6

La réponse finale est $- 3456$ .

$- 3456$

Étape 15.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 1$ , de l’intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée première $6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.3.1

Remplacez la variable $t$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = 6 (- 1) {({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}$

Étape 15.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.3.2.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 6 {({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}$

Étape 15.3.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = - 6 {(1 - 4)}^{2}$

Étape 15.3.2.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (- 1) = - 6 {(- 3)}^{2}$

Étape 15.3.2.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = - 6 \cdot 9$

Étape 15.3.2.5

Multipliez $- 6$ par $9$ .

$f' (- 1) = - 54$

Étape 15.3.2.6

La réponse finale est $- 54$ .

$- 54$

Étape 15.4

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée première $6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.4.1

Remplacez la variable $t$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 6 (1) {({(1)}^{2} - 4)}^{2}$

Étape 15.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.4.2.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$f' (1) = 6 {({(1)}^{2} - 4)}^{2}$

Étape 15.4.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 6 {(1 - 4)}^{2}$

Étape 15.4.2.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (1) = 6 {(- 3)}^{2}$

Étape 15.4.2.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (1) = 6 \cdot 9$

Étape 15.4.2.5

Multipliez $6$ par $9$ .

$f' (1) = 54$

Étape 15.4.2.6

La réponse finale est $54$ .

$54$

Étape 15.5

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée première $6 t {(t^{2} - 4)}^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.5.1

Remplacez la variable $t$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 6 (4) {({(4)}^{2} - 4)}^{2}$

Étape 15.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.5.2.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$f' (4) = 24 {({(4)}^{2} - 4)}^{2}$

Étape 15.5.2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 24 {(16 - 4)}^{2}$

Étape 15.5.2.3

Soustrayez $4$ de $16$ .

$f' (4) = 24 \cdot 12^{2}$

Étape 15.5.2.4

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 24 \cdot 144$

Étape 15.5.2.5

Multipliez $24$ par $144$ .

$f' (4) = 3456$

Étape 15.5.2.6

La réponse finale est $3456$ .

$3456$

Étape 15.6

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $t = - 2$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 15.7

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $t = 0$ , $t = 0$ est un minimum local.

$t = 0$ est un minimum local

Étape 15.8

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $t = 2$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 15.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (t) = {(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t = 0$ est un minimum local

Étape 16