Calcul infinitésimal Exemples

$4 x - \frac{4000}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $4 x - \frac{4000}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = 4 x - \frac{4000}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - \frac{4000}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 4000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4000}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 4000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 - 4000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 - 4000 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$4 - 4000 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 - 4000 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$4 - 4000 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 - 4000 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4000 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$4 - 4000 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 - 4000 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 2.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 - 4000 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Étape 2.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 - 4000 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 2.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$4 - 4000 (- 2 x^{- 3})$

Étape 2.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 4000$ .

$4 + 8000 x^{- 3}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 + 8000 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.4.2

Associez $8000$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 + \frac{8000}{x^{3}}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{8000}{x^{3}} + 4$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{8000}{x^{3}} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{8000}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{8000}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{8000}{x^{3}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $8000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8000}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $8000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 8000 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 8000 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$f'' (x) = 8000 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 8000 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$f'' (x) = 8000 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 8000 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 3.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 8000 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 8000 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 8000 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8000 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 8000 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$f'' (x) = 8000 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.2.8

Multipliez $- 3$ par $8000$ .

$f'' (x) = - 24000 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 24000 x^{- 4} + 0$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 24000 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Associez $- 24000$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 24000}{x^{4}} + 0$

Étape 3.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{24000}{x^{4}} + 0$

Étape 3.4.2.3

Additionnez $- \frac{24000}{x^{4}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{24000}{x^{4}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{8000}{x^{3}} + 4 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - \frac{4000}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 4000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4000}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 4000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 - 4000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 5.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 - 4000 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 5.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 5.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$4 - 4000 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 - 4000 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$4 - 4000 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 - 4000 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 5.1.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 5.1.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4000 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 5.1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$4 - 4000 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 5.1.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 - 4000 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 5.1.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 - 4000 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Étape 5.1.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 - 4000 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 5.1.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$4 - 4000 (- 2 x^{- 3})$

Étape 5.1.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 4000$ .

$4 + 8000 x^{- 3}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 + 8000 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 5.1.4.2

Associez $8000$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 + \frac{8000}{x^{3}}$

Étape 5.1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{8000}{x^{3}} + 4$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{8000}{x^{3}} + 4$ .

$\frac{8000}{x^{3}} + 4$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{8000}{x^{3}} + 4 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{8000}{x^{3}} + 4 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{8000}{x^{3}} = - 4$

Étape 6.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{3}, 1$

Étape 6.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{3}$

Étape 6.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{8000}{x^{3}} = - 4$ par $x^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{8000}{x^{3}} = - 4$ par $x^{3}$ .

$\frac{8000}{x^{3}} x^{3} = - 4 x^{3}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8000}{x^{3}} x^{3} = - 4 x^{3}$

Étape 6.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$8000 = - 4 x^{3}$

Étape 6.5

Résolvez l’équation.

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Étape 6.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 4 x^{3} = 8000$ .

$- 4 x^{3} = 8000$

Étape 6.5.2

Soustrayez $8000$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x^{3} - 8000 = 0$

Étape 6.5.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x^{3} - 8000$ .

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Étape 6.5.3.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x^{3} - 8000 = 0$

Étape 6.5.3.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 8000$ .

$- 4 x^{3} - 4 \cdot 2000 = 0$

Étape 6.5.3.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 (x^{3}) - 4 (2000)$ .

$- 4 (x^{3} + 2000) = 0$

Étape 6.5.4

Divisez chaque terme dans $- 4 (x^{3} + 2000) = 0$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 6.5.4.1

Divisez chaque terme dans $- 4 (x^{3} + 2000) = 0$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 (x^{3} + 2000)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Étape 6.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 6.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 (x^{3} + 2000)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Étape 6.5.4.2.1.2

Divisez $x^{3} + 2000$ par $1$ .

$x^{3} + 2000 = \frac{0}{- 4}$

Étape 6.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.4.3.1

Divisez $0$ par $- 4$ .

$x^{3} + 2000 = 0$

Étape 6.5.5

Soustrayez $2000$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} = - 2000$

Étape 6.5.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{- 2000}$

Étape 6.5.7

Simplifiez $\sqrt[3]{- 2000}$ .

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Étape 6.5.7.1

Réécrivez $- 2000$ comme ${(- 10)}^{3} \cdot 2$ .

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Étape 6.5.7.1.1

Factorisez $- 1000$ à partir de $- 2000$ .

$x = \sqrt[3]{- 1000 (2)}$

Étape 6.5.7.1.2

Réécrivez $- 1000$ comme ${(- 10)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 10)}^{3} \cdot 2}$

Étape 6.5.7.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = - 10 \sqrt[3]{2}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{8000}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 7.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 7.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - 10 \sqrt[3]{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 10 \sqrt[3]{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{24000}{{(- 10 \sqrt[3]{2})}^{4}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 10 \sqrt[3]{2}$ .

$- \frac{24000}{{(- 10)}^{4} {\sqrt[3]{2}}^{4}}$

Étape 10.1.2

Élevez $- 10$ à la puissance $4$ .

$- \frac{24000}{10000 {\sqrt[3]{2}}^{4}}$

Étape 10.1.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{4}$ comme $\sqrt[3]{2^{4}}$ .

$- \frac{24000}{10000 \sqrt[3]{2^{4}}}$

Étape 10.1.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$- \frac{24000}{10000 \sqrt[3]{16}}$

Étape 10.1.5

Réécrivez $16$ comme $2^{3} \cdot 2$ .

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Étape 10.1.5.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$- \frac{24000}{10000 \sqrt[3]{8 (2)}}$

Étape 10.1.5.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$- \frac{24000}{10000 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}$

Étape 10.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{24000}{10000 \cdot 2 \sqrt[3]{2}}$

Étape 10.1.7

Multipliez $10000$ par $2$ .

$- \frac{24000}{20000 \sqrt[3]{2}}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun à $24000$ et $20000$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez $4000$ à partir de $24000$ .

$- \frac{4000 (6)}{20000 \sqrt[3]{2}}$

Étape 10.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.2.1

Factorisez $4000$ à partir de $20000 \sqrt[3]{2}$ .

$- \frac{4000 (6)}{4000 (5 \sqrt[3]{2})}$

Étape 10.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4000 \cdot 6}{4000 (5 \sqrt[3]{2})}$

Étape 10.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{6}{5 \sqrt[3]{2}}$

Étape 10.3

Multipliez $\frac{6}{5 \sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$- (\frac{6}{5 \sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Étape 10.4

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1.1

Multipliez $\frac{6}{5 \sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 \sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 10.4.1.2

Déplacez $\sqrt[3]{2}$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 (\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2})}$

Étape 10.4.1.3

Élevez $\sqrt[3]{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 ({\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2})}$

Étape 10.4.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 {\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Étape 10.4.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 {\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Étape 10.4.1.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2}$ comme $2^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 10.4.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 10.4.1.6.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 \cdot 2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 10.4.1.6.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 \cdot 2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 10.4.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 \cdot 2^{1}}$

Étape 10.4.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 \cdot 2}$

Étape 10.4.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 {\sqrt[3]{2}}^{2}$ .

$- \frac{2 (3 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{5 \cdot 2}$

Étape 10.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $5 \cdot 2$ .

$- \frac{2 (3 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{2 \cdot 5}$

Étape 10.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (3 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{2 \cdot 5}$

Étape 10.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5}$

Étape 10.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{2^{2}}}{5}$

Étape 10.5.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{5}$

Étape 11

$x = - 10 \sqrt[3]{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 10 \sqrt[3]{2}$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - 10 \sqrt[3]{2}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $- 10 \sqrt[3]{2}$ dans l’expression.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = 4 (- 10 \sqrt[3]{2}) - \frac{4000}{{(- 10 \sqrt[3]{2})}^{2}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 10$ par $4$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4000}{{(- 10 \sqrt[3]{2})}^{2}}$

Étape 12.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 10 \sqrt[3]{2}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4000}{{(- 10)}^{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 12.2.1.2.2

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4000}{100 {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 12.2.1.2.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4000}{100 \sqrt[3]{2^{2}}}$

Étape 12.2.1.2.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4000}{100 \sqrt[3]{4}}$

Étape 12.2.1.3

Annulez le facteur commun à $4000$ et $100$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.3.1

Factorisez $100$ à partir de $4000$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{100 \cdot 40}{100 \sqrt[3]{4}}$

Étape 12.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.3.2.1

Factorisez $100$ à partir de $100 \sqrt[3]{4}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{100 \cdot 40}{100 (\sqrt[3]{4})}$

Étape 12.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{100 \cdot 40}{100 \sqrt[3]{4}}$

Étape 12.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40}{\sqrt[3]{4}}$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $\frac{40}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (\frac{40}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Étape 12.2.1.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.5.1

Multipliez $\frac{40}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 12.2.1.5.2

Élevez $\sqrt[3]{4}$ à la puissance $1$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 12.2.1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Étape 12.2.1.5.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Étape 12.2.1.5.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ comme $4$ .

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Étape 12.2.1.5.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4}$ comme $4^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 12.2.1.5.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 12.2.1.5.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 12.2.1.5.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.5.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 12.2.1.5.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Étape 12.2.1.5.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Étape 12.2.1.6

Annulez le facteur commun à $40$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $40 {\sqrt[3]{4}}^{2}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4 (10 {\sqrt[3]{4}}^{2})}{4}$

Étape 12.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4 (10 {\sqrt[3]{4}}^{2})}{4 (1)}$

Étape 12.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4 (10 {\sqrt[3]{4}}^{2})}{4 \cdot 1}$

Étape 12.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{10 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{1}$

Étape 12.2.1.6.2.4

Divisez $10 {\sqrt[3]{4}}^{2}$ par $1$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (10 {\sqrt[3]{4}}^{2})$

Étape 12.2.1.7

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (10 \sqrt[3]{4^{2}})$

Étape 12.2.1.8

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (10 \sqrt[3]{16})$

Étape 12.2.1.9

Réécrivez $16$ comme $2^{3} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.9.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (10 \sqrt[3]{8 (2)})$

Étape 12.2.1.9.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (10 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2})$

Étape 12.2.1.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (10 (2 \sqrt[3]{2}))$

Étape 12.2.1.11

Multipliez $2$ par $10$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (20 \sqrt[3]{2})$

Étape 12.2.1.12

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - 20 \sqrt[3]{2}$

Étape 12.2.2

Soustrayez $20 \sqrt[3]{2}$ de $- 40 \sqrt[3]{2}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 60 \sqrt[3]{2}$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $- 60 \sqrt[3]{2}$ .

$y = - 60 \sqrt[3]{2}$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 4 x - \frac{4000}{x^{2}}$ .

$(- 10 \sqrt[3]{2}, - 60 \sqrt[3]{2})$ est un maximum local

Étape 14