Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x - 1}{x^{2} + 5 x + 10}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x - 1}{x^{2} + 5 x + 10}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 5 x + 10}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = x^{2} + 5 x + 10$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $x^{2} + 5 x + 10$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 5 x + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.2.7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.2.9

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.2.10

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 + 0)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.2.11

Additionnez $2 x + 5$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 + (- x - - 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 + (- x + 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2

Développez $(- x + 1) (2 x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x + 5) + 1 (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x) - x \cdot 5 + 1 (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x) - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.3.1.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.3.1.5

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 2 x + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.3.1.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 2 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.3.2

Additionnez $- 5 x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 3 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5 x + 10 - 3 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.2.3

Soustrayez $3 x$ de $5 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x + 10 + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.2.4

Additionnez $10$ et $5$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.3.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 3$ plus $5$

$\frac{- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} - 3 x + 5 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.3.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- x - 3) - 5 (- x - 3)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 3$ .

$\frac{(- x - 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (3)) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.7

Réécrivez $- (x + 3)$ comme $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{- 1 (x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 2.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.2

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 3) (x - 5)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{({(x^{2} + 5 x + 10)}^{2})}^{2}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 5 x + 10)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 3) (x - 5)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2 \cdot 2}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 3) (x - 5)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 3$ et $g (x) = x - 5$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) \frac{d}{d x} (x - 5) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.5.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} ((x + 3) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.5.4.2

Multipliez $x + 3$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (3))) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.5.7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) (1 + 0)) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.5.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.5.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + (x - 5) \cdot 1) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.5.8.2

Multipliez $x - 5$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (x + 3 + x - 5) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.5.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x + 3 - 5) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.5.8.4

Soustrayez $5$ de $3$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - (x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 5 x + 10$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 5 x + 10$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - (x + 3) (x - 5) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 5 x + 10$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - (x + 3) (x - 5) (2 (x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) ((x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.7.2

Factorisez $x^{2} + 5 x + 10$ à partir de ${(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) ((x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10])$ .

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Étape 3.7.2.1

Factorisez $x^{2} + 5 x + 10$ à partir de ${(x^{2} + 5 x + 10)}^{2} (2 x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2)) - 2 (x + 3) (x - 5) ((x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.7.2.2

Factorisez $x^{2} + 5 x + 10$ à partir de $- 2 (x + 3) (x - 5) ((x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10])$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2)) + (x^{2} + 5 x + 10) (- 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10)))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.7.2.3

Factorisez $x^{2} + 5 x + 10$ à partir de $(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2)) + (x^{2} + 5 x + 10) (- 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]))$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10)))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.8.1

Factorisez $x^{2} + 5 x + 10$ à partir de ${(x^{2} + 5 x + 10)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) ((x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10)))}{(x^{2} + 5 x + 10) {(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.8.2

Annulez le facteur commun.

Étape 3.8.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x + 10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 5 x + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.11

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.13

Multipliez $5$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5 + \frac{d}{d x} (10))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.14

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5 + 0)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.15

Additionnez $2 x + 5$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.16

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} \cdot 0$

Étape 3.17

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.17.1

Multipliez $\frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$ par $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}} + 0$

Étape 3.17.2

Additionnez $- \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) - 2 (x + 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18

Simplifiez

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Étape 3.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2) + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.18.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.18.2.1.1

Développez $(x^{2} + 5 x + 10) (2 x - 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.18.2.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.18.2.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.18.2.1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.2.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 \cdot x^{2} + 5 x (2 x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 \cdot (2 x \cdot x) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.2.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.18.2.1.2.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 \cdot (2 (x \cdot x)) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.2.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 \cdot (2 x^{2}) + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.2.6

Multipliez $5$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x^{2} + 5 x \cdot - 2 + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.2.7

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x^{2} - 10 x + 10 (2 x) + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.2.8

Multipliez $2$ par $10$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x^{2} - 10 x + 20 x + 10 \cdot - 2 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.2.9

Multipliez $10$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x^{2} - 10 x + 20 x - 20 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.3

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $10 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x + 20 x - 20 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.4

Additionnez $- 10 x$ et $20 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x - 6) (x - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.6

Développez $(- 2 x - 6) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.18.2.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x (x - 5) - 6 (x - 5)) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 5 - 6 (x - 5)) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.18.2.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.18.2.1.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.18.2.1.7.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.7.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.7.1.2

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x^{2} + 10 x - 6 x - 6 \cdot - 5) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.7.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 5$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x^{2} + 10 x - 6 x + 30) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.7.2

Soustrayez $6 x$ de $10 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 + (- 2 x^{2} + 4 x + 30) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.8

Développez $(- 2 x^{2} + 4 x + 30) (2 x + 5)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 x^{2} (2 x) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.18.2.1.9.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 x^{2} x) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.9.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.18.2.1.9.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.9.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.18.2.1.9.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.9.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 x^{1 + 2}) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.9.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 \cdot (2 x^{3}) - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.9.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 5 + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.9.4

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.9.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 \cdot (2 x \cdot x) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.9.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.18.2.1.9.6.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 \cdot (2 (x \cdot x)) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.9.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 \cdot (2 x^{2}) + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.9.7

Multipliez $4$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x^{2} + 4 x \cdot 5 + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.9.8

Multipliez $5$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x^{2} + 20 x + 30 (2 x) + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.9.9

Multipliez $2$ par $30$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x^{2} + 20 x + 60 x + 30 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.9.10

Multipliez $30$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 10 x^{2} + 8 x^{2} + 20 x + 60 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.10

Additionnez $- 10 x^{2}$ et $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 20 x + 60 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.1.11

Additionnez $20 x$ et $60 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 80 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.2

Soustrayez $4 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x - 20 - 2 x^{2} + 80 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.3

Soustrayez $2 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 10 x - 20 + 80 x + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.4

Additionnez $10 x$ et $80 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 90 x - 20 + 150}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.2.5

Additionnez $- 20$ et $150$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 90 x + 130}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 90 x + 130$ .

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Étape 3.18.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 6 x^{2} + 90 x + 130}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.3.2

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 90 x + 130}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.3.3

Factorisez $2$ à partir de $90 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (45 x) + 130}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.3.4

Factorisez $2$ à partir de $130$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 (65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3}) + 2 (3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (45 x) + 2 (65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.3.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (45 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} + 3 x^{2} + 45 x) + 2 (65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.3.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3} + 3 x^{2} + 45 x) + 2 (65)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} + 3 x^{2} + 45 x + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) + 3 x^{2} + 45 x + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.5

Factorisez $- 1$ à partir de $3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - (- 3 x^{2}) + 45 x + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2}) + 45 x + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.7

Factorisez $- 1$ à partir de $45 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 45 x) + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 45 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x) + 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.9

Réécrivez $65$ comme $- 1 (- 65)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x) - 1 \cdot - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x) - 1 (- 65)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.11

Réécrivez $- (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)$ comme $- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65))}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 3.18.13

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}})$

Étape 3.18.14

Multipliez $\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} - 45 x - 65)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 10) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.2.4.2

Multipliez $x^{2} + 5 x + 10$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 10]}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 5 x + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.2.7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.2.9

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [10])}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.2.10

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5 + 0)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.2.11

Additionnez $2 x + 5$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - (x - 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3

Simplifiez

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Étape 5.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 + (- x - - 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 + (- x + 1) (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.1.2

Développez $(- x + 1) (2 x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x + 5) + 1 (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x) - x \cdot 5 + 1 (2 x + 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - x (2 x) - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.3.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.3.2.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - x \cdot 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.1.3.1.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.1.3.1.5

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 2 x + 1 \cdot 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.1.3.1.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 5 x + 2 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.1.3.2

Additionnez $- 5 x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 10 - 2 x^{2} - 3 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5 x + 10 - 3 x + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.3

Soustrayez $3 x$ de $5 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x + 10 + 5}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2.4

Additionnez $10$ et $5$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1.3.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 5.1.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 3$ plus $5$

$\frac{- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} - 3 x + 5 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.1.3.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- x - 3) - 5 (- x - 3)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 3$ .

$\frac{(- x - 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.5

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (3)) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.7

Réécrivez $- (x + 3)$ comme $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{- 1 (x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.1.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$ .

$- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{(x + 3) (x - 5)}{{(x^{2} + 5 x + 10)}^{2}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x + 3) (x - 5) = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 6.3.2

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 6.3.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6.3.3

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 6.3.3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 6.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = - 3, 5$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - 3, 5$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2 ({(- 3)}^{3} - 3 {(- 3)}^{2} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Multipliez $- 3$ par ${(- 3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1.1

Multipliez $- 3$ par ${(- 3)}^{2}$ .

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Étape 10.1.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 ({(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{1} {(- 3)}^{2} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Étape 10.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 ({(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{1 + 2} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Étape 10.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 ({(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{3} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (- 27 + {(- 3)}^{3} - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Étape 10.2.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (- 27 - 27 - 45 \cdot - 3 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Étape 10.2.3

Multipliez $- 45$ par $- 3$ .

$\frac{2 (- 27 - 27 + 135 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Étape 10.2.4

Soustrayez $27$ de $- 27$ .

$\frac{2 (- 54 + 135 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Étape 10.2.5

Additionnez $- 54$ et $135$ .

$\frac{2 (81 - 65)}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Étape 10.2.6

Soustrayez $65$ de $81$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Étape 10.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.3.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{(9 + 5 (- 3) + 10)}^{3}}$

Étape 10.3.2

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{(9 - 15 + 10)}^{3}}$

Étape 10.3.3

Soustrayez $15$ de $9$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{(- 6 + 10)}^{3}}$

Étape 10.3.4

Additionnez $- 6$ et $10$ .

$\frac{2 \cdot 16}{4^{3}}$

Étape 10.3.5

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 \cdot 16}{64}$

Étape 10.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.4.1

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{32}{64}$

Étape 10.4.2

Annulez le facteur commun à $32$ et $64$ .

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Étape 10.4.2.1

Factorisez $32$ à partir de $32$ .

$\frac{32 (1)}{64}$

Étape 10.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.2.2.1

Factorisez $32$ à partir de $64$ .

$\frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 2}$

Étape 10.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 2}$

Étape 10.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 11

$x = - 3$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 3$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - 3$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = \frac{(- 3) - 1}{{(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{{(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 10}$

Étape 12.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{9 + 5 (- 3) + 10}$

Étape 12.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{9 - 15 + 10}$

Étape 12.2.2.3

Soustrayez $15$ de $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{- 6 + 10}$

Étape 12.2.2.4

Additionnez $- 6$ et $10$ .

$f (- 3) = \frac{- 4}{4}$

Étape 12.2.3

Divisez $- 4$ par $4$ .

$f (- 3) = - 1$

Étape 12.2.4

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2 ({(5)}^{3} - 3 {(5)}^{2} - 45 \cdot 5 - 65)}{{({(5)}^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 (125 - 3 \cdot 5^{2} - 45 \cdot 5 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Étape 14.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (125 - 3 \cdot 25 - 45 \cdot 5 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Étape 14.1.3

Multipliez $- 3$ par $25$ .

$\frac{2 (125 - 75 - 45 \cdot 5 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Étape 14.1.4

Multipliez $- 45$ par $5$ .

$\frac{2 (125 - 75 - 225 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Étape 14.1.5

Soustrayez $75$ de $125$ .

$\frac{2 (50 - 225 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Étape 14.1.6

Soustrayez $225$ de $50$ .

$\frac{2 (- 175 - 65)}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Étape 14.1.7

Soustrayez $65$ de $- 175$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{{(5^{2} + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{{(25 + 5 (5) + 10)}^{3}}$

Étape 14.2.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{{(25 + 25 + 10)}^{3}}$

Étape 14.2.3

Additionnez $25$ et $25$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{{(50 + 10)}^{3}}$

Étape 14.2.4

Additionnez $50$ et $10$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{60^{3}}$

Étape 14.2.5

Élevez $60$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 \cdot - 240}{216000}$

Étape 14.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 14.3.1

Multipliez $2$ par $- 240$ .

$\frac{- 480}{216000}$

Étape 14.3.2

Annulez le facteur commun à $- 480$ et $216000$ .

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Étape 14.3.2.1

Factorisez $480$ à partir de $- 480$ .

$\frac{480 (- 1)}{216000}$

Étape 14.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.3.2.2.1

Factorisez $480$ à partir de $216000$ .

$\frac{480 \cdot - 1}{480 \cdot 450}$

Étape 14.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{480 \cdot - 1}{480 \cdot 450}$

Étape 14.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{450}$

Étape 14.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{450}$

Étape 15

$x = 5$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 5$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 5$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = \frac{(5) - 1}{{(5)}^{2} + 5 (5) + 10}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Soustrayez $1$ de $5$ .

$f (5) = \frac{4}{5^{2} + 5 (5) + 10}$

Étape 16.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (5) = \frac{4}{25 + 5 (5) + 10}$

Étape 16.2.2.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$f (5) = \frac{4}{25 + 25 + 10}$

Étape 16.2.2.3

Additionnez $25$ et $25$ .

$f (5) = \frac{4}{50 + 10}$

Étape 16.2.2.4

Additionnez $50$ et $10$ .

$f (5) = \frac{4}{60}$

Étape 16.2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $60$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (5) = \frac{4 (1)}{60}$

Étape 16.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$f (5) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 15}$

Étape 16.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (5) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 15}$

Étape 16.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (5) = \frac{1}{15}$

Étape 16.2.4

La réponse finale est $\frac{1}{15}$ .

$y = \frac{1}{15}$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 5 x + 10}$ .

$(- 3, - 1)$ est un minimum local

$(5, \frac{1}{15})$ est un maximum local

Étape 18