Calcul infinitésimal Exemples

$2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Étape 1

Écrivez $2 \sin (x) + \cos (2 x)$ comme une fonction.

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sin (x) + \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$2 \cos (x) - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \cos (x) - \sin (2 x) \cdot 2$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \cos (x) - 2 \sin (2 x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \cos (x) - 2 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 3.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Étape 3.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Étape 3.3.7

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 4 \cos (2 x)$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 \cos (x) - 2 \sin (2 x) = 0$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \cos (x) - 2 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 \cos (x) - 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 6

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \cos (x) - 4 \sin (x) \cos (x)$ .

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Étape 6.1

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 - 4 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 6.2

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $- 4 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) = 0$

Étape 6.3

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ .

$2 \cos (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Étape 8

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 8.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 8.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 8.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 8.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 8.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 8.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 8.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 8.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 8.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 8.2.5

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 9

Définissez $1 - 2 \sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $1 - 2 \sin (x)$ égal à $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Étape 9.2

Résolvez $1 - 2 \sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 9.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Étape 9.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 9.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 9.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 9.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 9.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 9.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Étape 9.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 9.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 9.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 9.2.6

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 9.2.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 9.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 9.2.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 9.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 9.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.6.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 9.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 9.2.7

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \cos (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \sin (\frac{π}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 2 \cdot 1 - 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 12.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 - 4 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 12.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 - 4 \cos (2 \frac{π}{2})$

Étape 12.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 - 4 \cos (π)$

Étape 12.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 2 - 4 (- \cos (0))$

Étape 12.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Étape 12.1.6

Multipliez $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 12.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 - 4 \cdot - 1$

Étape 12.1.6.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- 2 + 4$

Étape 12.2

Additionnez $- 2$ et $4$ .

$2$

Étape 13

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local

Étape 14

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 14.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 14.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 14.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 14.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 14.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \cos (π)$

Étape 14.2.1.4

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos (0)$

Étape 14.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 1 \cdot 1$

Étape 14.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 1$

Étape 14.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Étape 14.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2})) - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 16.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1) - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 16.1.3

Multipliez $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 16.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 \cdot - 1 - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 16.1.3.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 - 4 \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 16.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 - 4 \cos (2 \frac{3 π}{2})$

Étape 16.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 - 4 \cos (3 π)$

Étape 16.1.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 - 4 \cos (π)$

Étape 16.1.6

$2 - 4 (- \cos (0))$

Étape 16.1.7

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Étape 16.1.8

Multipliez $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 16.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 - 4 \cdot - 1$

Étape 16.1.8.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$2 + 4$

Étape 16.2

Additionnez $2$ et $4$ .

$6$

Étape 17

$x = \frac{3 π}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{2}$ est un minimum local

Étape 18

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 18.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 18.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 18.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1) + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 18.2.1.3

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 18.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1 + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 18.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 18.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (2 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 18.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (3 π)$

Étape 18.2.1.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 + \cos (π)$

Étape 18.2.1.6

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - \cos (0)$

Étape 18.2.1.7

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - 1 \cdot 1$

Étape 18.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 - 1$

Étape 18.2.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3$

Étape 18.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$y = - 3$

Étape 19

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \sin (\frac{π}{6}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 20

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 20.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 20.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 20.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 20.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 - 4 \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 20.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

Étape 20.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Étape 20.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 - 4 \cos (\frac{π}{3})$

Étape 20.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 20.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$- 1 + 2 (- 2) \frac{1}{2}$

Étape 20.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$- 1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2}$

Étape 20.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 - 2$

Étape 20.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- 3$

Étape 21

$x = \frac{π}{6}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{6}$ est un maximum local

Étape 22

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 22.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 22.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 22.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 22.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Étape 22.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Étape 22.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 22.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 + \frac{1}{2}$

Étape 22.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 22.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 + 1}{2}$

Étape 22.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}$

Étape 22.2.3

La réponse finale est $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Étape 23

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5 π}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \sin (\frac{5 π}{6}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 24

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 2 \sin (\frac{π}{6}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 24.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 24.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 24.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 24.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 24.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Étape 24.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$- 1 - 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Étape 24.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 - 4 \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 24.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 1 - 4 \cos (\frac{π}{3})$

Étape 24.1.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 24.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$- 1 + 2 (- 2) \frac{1}{2}$

Étape 24.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$- 1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2}$

Étape 24.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 - 2$

Étape 24.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- 3$

Étape 25

$x = \frac{5 π}{6}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5 π}{6}$ est un maximum local

Étape 26

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5 π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \sin (\frac{5 π}{6}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 26.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 26.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 26.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 26.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 26.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Étape 26.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Étape 26.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 26.2.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 26.2.1.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 1 + \frac{1}{2}$

Étape 26.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 26.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{2 + 1}{2}$

Étape 26.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{3}{2}$

Étape 26.2.3

La réponse finale est $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Étape 27

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{2}, 1)$ est un minimum local

$(\frac{3 π}{2}, - 3)$ est un minimum local

$(\frac{π}{6}, \frac{3}{2})$ est un maximum local

$(\frac{5 π}{6}, \frac{3}{2})$ est un maximum local

Étape 28