Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x}{8 x + 3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 8 x + 3$ .

$\frac{(8 x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [8 x + 3]}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [8 x + 3]}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 + 0)}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.2

Additionnez $8$ et $0$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x \cdot 8}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x \cdot 1 + 3 \cdot 1 - x \cdot 8}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Associez les termes opposés dans $8 x \cdot 1 + 3 \cdot 1 - x \cdot 8$ .

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Étape 5.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $8 x \cdot 1$ et $- x \cdot 8$ .

$\frac{1 \cdot 8 x + 3 \cdot 1 - 1 \cdot 8 x}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $8 x$ de $1 \cdot 8 x$ .

$\frac{3 \cdot 1 + 0}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3

Additionnez $3 \cdot 1$ et $0$ .

$\frac{3 \cdot 1}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3}{{(8 x + 3)}^{2}}$