Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{{(7 x - 9)}^{9}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(7 x - 9)}^{9}$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 9)}^{9}]}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 9)}^{9}]}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{9}$ et $g (x) = 7 x - 9$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x - 9$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [7 x - 9])}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 u^{8} \frac{d}{d x} [7 x - 9])}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x - 9$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} \frac{d}{d x} [7 x - 9])}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Étape 4.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $7$ par $1$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} (7 + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Étape 4.5

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} (7 + 0))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Additionnez $7$ et $0$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} \cdot 7)}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Étape 4.6.2

Multipliez $7$ par $9$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (63 {(7 x - 9)}^{8})}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Factorisez ${(7 x - 9)}^{8}$ à partir de ${(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (63 {(7 x - 9)}^{8})$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez ${(7 x - 9)}^{8}$ à partir de ${(7 x - 9)}^{9} \cdot 1$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} ((7 x - 9) \cdot 1) - x (63 {(7 x - 9)}^{8})}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Étape 5.1.1.2

Factorisez ${(7 x - 9)}^{8}$ à partir de $- x (63 {(7 x - 9)}^{8})$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} ((7 x - 9) \cdot 1) + {(7 x - 9)}^{8} (- x \cdot (63))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Étape 5.1.1.3

Factorisez ${(7 x - 9)}^{8}$ à partir de ${(7 x - 9)}^{8} ((7 x - 9) \cdot 1) + {(7 x - 9)}^{8} (- x \cdot (63))$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} ((7 x - 9) \cdot 1 - x \cdot (63))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Étape 5.1.2

Multipliez $7 x - 9$ par $1$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (7 x - 9 - x \cdot (63))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Étape 5.1.3

Multipliez $63$ par $- 1$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (7 x - 9 - 63 x)}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Étape 5.1.4

Soustrayez $63 x$ de $7 x$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (- 56 x - 9)}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(7 x - 9)}^{9})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (- 56 x - 9)}{{(7 x - 9)}^{9 \cdot 2}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (- 56 x - 9)}{{(7 x - 9)}^{18}}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez ${(7 x - 9)}^{8}$ à partir de ${(7 x - 9)}^{18}$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (- 56 x - 9)}{{(7 x - 9)}^{8} {(7 x - 9)}^{10}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (- 56 x - 9)}{{(7 x - 9)}^{8} {(7 x - 9)}^{10}}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 56 x - 9}{{(7 x - 9)}^{10}}$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 56 x$ .

$\frac{- (56 x) - 9}{{(7 x - 9)}^{10}}$

Étape 5.4

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$\frac{- (56 x) - 1 (9)}{{(7 x - 9)}^{10}}$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (56 x) - 1 (9)$ .

$\frac{- (56 x + 9)}{{(7 x - 9)}^{10}}$

Étape 5.6

Réécrivez $- (56 x + 9)$ comme $- 1 (56 x + 9)$ .

$\frac{- 1 (56 x + 9)}{{(7 x - 9)}^{10}}$

Étape 5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{56 x + 9}{{(7 x - 9)}^{10}}$