Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt{5 - x^{3}}}{\sqrt{4 + x^{3}}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sqrt{5 - x^{3}}$ et $g (x) = \sqrt{4 + x^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{5 - x^{3}}] - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 - x^{3}}$ comme ${(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} \frac{d}{d x} [{(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}] - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 5 - x^{3}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 - x^{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 - x^{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2} {(5 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2} {(5 - x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2} {(5 - x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 8

Différenciez.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2} {(5 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 8.2

Associez les fractions.

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(5 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{{(5 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 8.2.2

Placez ${(5 - x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 8.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 8.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 8.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 8.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 8.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (- (3 x^{2}))) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 8.8

Associez les fractions.

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Étape 8.8.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{1}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (- 3 x^{2})) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 8.8.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (\frac{- 3}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2}) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 8.8.3

Associez $\frac{- 3}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} \frac{- 3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 8.8.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.8.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [\sqrt{4 + x^{3}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 8.8.4.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 + x^{3}}$ comme ${(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{d}{d x} [{(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}]}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 4 + x^{3}$ .

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Étape 9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 + x^{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 + x^{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2} {(4 + x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2} {(4 + x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 13.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2} {(4 + x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 14

Associez les fractions.

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Étape 14.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2} {(4 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 14.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{{(4 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 14.3

Placez ${(4 + x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 15

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{3}]))}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 16

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]))}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 17

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 18

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{1}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2}))}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 19

Associez les fractions.

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Étape 19.1

Associez $3$ et $\frac{1}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} (\frac{3}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2})}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 19.2

Associez $\frac{3}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{3}} (- \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{3 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20

Simplifiez

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Étape 20.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 20.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- \sqrt{4 + x^{3}} \frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{3 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.2

Associez $\frac{3 x^{2}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ et $\sqrt{4 + x^{3}}$ .

$\frac{- \frac{3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{5 - x^{3}} \frac{3 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.3

Associez $\frac{3 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ et $\sqrt{5 - x^{3}}$ .

$\frac{- \frac{3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.4

Pour écrire $- \frac{3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.5

Pour écrire $- \frac{3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

Étape 20.1.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 20.1.6.1

Multipliez $\frac{3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{{(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.6.2

Multipliez $\frac{3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{{(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.6.3

Réorganisez les facteurs de $2 {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.8

Réécrivez $\frac{- 3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ en forme factorisée.

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Étape 20.1.8.1

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 20.1.8.1.1

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2} \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} (- \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}) - 3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.8.1.2

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2} \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} (- \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{2} (- \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.8.1.3

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $3 x^{2} (- \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{2} (- \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} (- \sqrt{4 + x^{3}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} - \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.8.2

Associez les exposants.

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Étape 20.1.8.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 + x^{3}}$ comme ${(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} (- ({(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}) - \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.8.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{\frac{1 + 1}{2}} - \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.8.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.8.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.1.8.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.8.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{1} - \sqrt{5 - x^{3}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.8.2.6

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 - x^{3}}$ comme ${(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{1} - ({(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.8.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{1} - {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.8.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{1} - {(5 - x^{3})}^{\frac{1 + 1}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.8.2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{1} - {(5 - x^{3})}^{\frac{2}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.8.2.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.1.8.2.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{1} - {(5 - x^{3})}^{\frac{2}{2}})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.8.2.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{3 x^{2} (- {(4 + x^{3})}^{1} - {(5 - x^{3})}^{1})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 20.1.9.1

Simplifiez

$\frac{\frac{3 x^{2} (- (4 + x^{3}) - {(5 - x^{3})}^{1})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 x^{2} (- 1 \cdot 4 - x^{3} - {(5 - x^{3})}^{1})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.9.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} (- 4 - x^{3} - {(5 - x^{3})}^{1})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.9.4

Simplifiez

$\frac{\frac{3 x^{2} (- 4 - x^{3} - (5 - x^{3}))}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.9.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 x^{2} (- 4 - x^{3} - 1 \cdot 5 - - x^{3})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.9.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} (- 4 - x^{3} - 5 - - x^{3})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.9.7

Multipliez $- - x^{3}$ .

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Étape 20.1.9.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} (- 4 - x^{3} - 5 + 1 x^{3})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.9.7.2

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} (- 4 - x^{3} - 5 + x^{3})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.9.8

Soustrayez $5$ de $- 4$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} (- x^{3} - 9 + x^{3})}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.9.9

Additionnez $- x^{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} (0 - 9)}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.9.10

Soustrayez $9$ de $0$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} \cdot - 9}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.9.11

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$\frac{\frac{- 27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}}$

Étape 20.2

Associez des termes.

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Étape 20.2.1

Réécrivez ${\sqrt{4 + x^{3}}}^{2}$ comme $4 + x^{3}$ .

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Étape 20.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 + x^{3}}$ comme ${(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 20.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 20.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{(4 + x^{3})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 20.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{(4 + x^{3})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 20.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{{(4 + x^{3})}^{1}}$

Étape 20.2.1.5

Simplifiez

$\frac{- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{4 + x^{3}}$

Étape 20.2.2

Réécrivez $\frac{- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}}{4 + x^{3}}$ comme un produit.

$- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 + x^{3}}$

Étape 20.2.3

Multipliez $\frac{1}{4 + x^{3}}$ par $\frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{27 x^{2}}{(4 + x^{3}) (2 {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 20.2.4

Élevez $4 + x^{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{27 x^{2}}{2 ({(4 + x^{3})}^{1} {(4 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}) {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{1 + \frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20.2.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{2 + 1}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20.2.8

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{27 x^{2}}{2 {(4 + x^{3})}^{\frac{3}{2}} {(5 - x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$