Calcul infinitésimal Exemples

$s = \frac{t^{2} + 5 t - 1}{t^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ est $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ où $f (s) = t^{2} + 5 t - 1$ et $g (s) = t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d s} [t^{2} + 5 t - 1] - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 5 t - 1$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [t^{2}] + \frac{d}{d s} [5 t] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d s} [t^{2}] + \frac{d}{d s} [5 t] + \frac{d}{d s} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $t^{2}$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $t^{2}$ par rapport à $s$ est $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + \frac{d}{d s} [5 t] + \frac{d}{d s} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $5 t$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $5 t$ par rapport à $s$ est $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + 0 + \frac{d}{d s} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $s$ est $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + 0 + 0) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 3

Associez des termes.

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Étape 3.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + 0) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{t^{2} \cdot 0 - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d s} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 4

Comme $t^{2}$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $t^{2}$ par rapport à $s$ est $0$ .

$\frac{t^{2} \cdot 0 - (t^{2} + 5 t - 1) \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{2} \cdot 0 + (- t^{2} - (5 t) - - 1) \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{2} \cdot 0 - t^{2} \cdot 0 - (5 t) \cdot 0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $t^{2} \cdot 0$ de $t^{2} \cdot 0$ .

$\frac{0 - (5 t) \cdot 0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $5 t \cdot 0$ de $0$ .

$\frac{- (5 t) \cdot 0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 t \cdot 0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $- 5 t \cdot 0$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Multipliez $0$ par $- 5$ .

$\frac{0 t - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.3.3.2.2

Multipliez $0$ par $t$ .

$\frac{0 - - 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $- - 1 \cdot 0$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{0 + 1 \cdot 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.3.3.3.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{0 + 0}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{t^{2 \cdot 2}}$

Étape 5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0}{t^{4}}$

Étape 5.5

Divisez $0$ par $t^{4}$ .

$0$