Calcul infinitésimal Exemples

$s = \frac{t^{2} + 5 t - 1}{t^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t^{2} + 5 t - 1$ et $g (t) = t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 1] - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 5 t - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [5 t]$ .

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t^{2} (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{t^{2} (2 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{t^{2} (2 t + 5 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{t^{2} (2 t + 5 + 0) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 4.2

Additionnez $2 t + 5$ et $0$ .

$\frac{t^{2} (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{t^{2} (2 t + 5) - (t^{2} + 5 t - 1) (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{2} (2 t) + t^{2} \cdot 5 - (t^{2} + 5 t - 1) (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{2} (2 t) + t^{2} \cdot 5 + (- t^{2} - (5 t) - - 1) (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{2} (2 t) + t^{2} \cdot 5 - t^{2} (2 t) - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 t^{2} t + t^{2} \cdot 5 - t^{2} (2 t) - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.2.1

Déplacez $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) + t^{2} \cdot 5 - t^{2} (2 t) - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.2.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

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Étape 5.4.1.2.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) + t^{2} \cdot 5 - t^{2} (2 t) - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 t^{1 + 2} + t^{2} \cdot 5 - t^{2} (2 t) - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 t^{3} + t^{2} \cdot 5 - t^{2} (2 t) - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $t^{2}$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 \cdot t^{2} - t^{2} (2 t) - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 1 \cdot 2 t^{2} t - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.5

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.5.1

Déplacez $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 1 \cdot 2 (t \cdot t^{2}) - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.5.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

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Étape 5.4.1.5.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 1 \cdot 2 (t^{1} t^{2}) - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 1 \cdot 2 t^{1 + 2} - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 1 \cdot 2 t^{3} - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 2 t^{3} - (5 t) (2 t) - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.7

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.7.1

Déplacez $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 2 t^{3} - (5 (t \cdot t)) \cdot 2 - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.7.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 2 t^{3} - (5 t^{2}) \cdot 2 - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.8

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 2 t^{3} - 5 t^{2} \cdot 2 - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.9

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 2 t^{3} - 10 t^{2} - - 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 2 t^{3} - 10 t^{2} + 1 (2 t)}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.1.11

Multipliez $2 t$ par $1$ .

$\frac{2 t^{3} + 5 t^{2} - 2 t^{3} - 10 t^{2} + 2 t}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.2

Associez les termes opposés dans $2 t^{3} + 5 t^{2} - 2 t^{3} - 10 t^{2} + 2 t$ .

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Étape 5.4.2.1

Soustrayez $2 t^{3}$ de $2 t^{3}$ .

$\frac{5 t^{2} + 0 - 10 t^{2} + 2 t}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2

Additionnez $5 t^{2}$ et $0$ .

$\frac{5 t^{2} - 10 t^{2} + 2 t}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.4.3

Soustrayez $10 t^{2}$ de $5 t^{2}$ .

$\frac{- 5 t^{2} + 2 t}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 5.5

Associez des termes.

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Étape 5.5.1

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 5 t^{2} + 2 t}{t^{2 \cdot 2}}$

Étape 5.5.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 5 t^{2} + 2 t}{t^{4}}$

Étape 5.5.2

Factorisez $t$ à partir de $- 5 t^{2} + 2 t$ .

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Étape 5.5.2.1

Factorisez $t$ à partir de $- 5 t^{2}$ .

$\frac{t (- 5 t) + 2 t}{t^{4}}$

Étape 5.5.2.2

Factorisez $t$ à partir de $2 t$ .

$\frac{t (- 5 t) + t \cdot 2}{t^{4}}$

Étape 5.5.2.3

Factorisez $t$ à partir de $t (- 5 t) + t \cdot 2$ .

$\frac{t (- 5 t + 2)}{t^{4}}$

Étape 5.5.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{4}$ .

$\frac{t (- 5 t + 2)}{t \cdot t^{3}}$

Étape 5.5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{t (- 5 t + 2)}{t \cdot t^{3}}$

Étape 5.5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5 t + 2}{t^{3}}$

Étape 5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 t$ .

$\frac{- (5 t) + 2}{t^{3}}$

Étape 5.7

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (5 t) - 1 (- 2)}{t^{3}}$

Étape 5.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 t) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (5 t - 2)}{t^{3}}$

Étape 5.9

Réécrivez $- (5 t - 2)$ comme $- 1 (5 t - 2)$ .

$\frac{- 1 (5 t - 2)}{t^{3}}$

Étape 5.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 t - 2}{t^{3}}$