Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{y + 1}{x - 1}$

Étape 1

Cette dérivée n’a pas pu être terminée avec la règle du quotient. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Comme $- (y + 1)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{y + 1}{x - 1}$ par rapport à $x$ est $- (y + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$ .

$- (y + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{- 1}$ .

$- (y + 1) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$- (y + 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- (y + 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$- (y + 1) (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (y + 1) ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 4.2

Multipliez $y + 1$ par $1$ .

$(y + 1) ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(y + 1) {(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(y + 1) {(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(y + 1) {(x - 1)}^{- 2} (1 + 0)$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(y + 1) {(x - 1)}^{- 2} \cdot 1$

Étape 4.6.2

Multipliez $y + 1$ par $1$ .

$(y + 1) {(x - 1)}^{- 2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(y + 1) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Multipliez $y + 1$ par $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{y + 1}{{(x - 1)}^{2}}$