Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x + 8}{5 x^{2} e^{x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 8$ et $g (x) = 5 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x + 8] - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} (1 + 0) - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Étape 2.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2} e^{x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} e^{x}) + 5 (e^{x} (2 x)))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} x)}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 e^{x} x^{2} + 10 e^{x} x)}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5 e^{x} x^{2} + 10 e^{x} x$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la règle de produit à $5 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{{(5 x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.2

Appliquez la règle de produit à $5 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.1.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} + (- x - 1 \cdot 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} + (- x - 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.3

Développez $(- x - 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x (5 x^{2} e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x (5 x^{2} e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.4.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.4.1.4.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - (x^{2} x) (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.4.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 7.4.1.4.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - (x^{2} x^{1}) (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.4.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x^{2 + 1} (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.4.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x^{3} (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 1 \cdot 5 x^{3} e^{x} - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.4.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.4.1.4.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - (x \cdot x) (10 e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.4.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - x^{2} (10 e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.4.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 1 \cdot 10 x^{2} e^{x} - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.4.1.6

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 10 x^{2} e^{x} - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.4.1.7

Multipliez $5$ par $- 8$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 10 x^{2} e^{x} - 40 (x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.4.1.8

Multipliez $10$ par $- 8$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 10 x^{2} e^{x} - 40 x^{2} e^{x} - 80 x e^{x}}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.4.2

Soustrayez $40 x^{2} e^{x}$ de $- 10 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 50 x^{2} e^{x} - 80 x e^{x}}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.2

Soustrayez $50 x^{2} e^{x}$ de $5 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.5

Associez des termes.

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Étape 7.5.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 7.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{2 \cdot 2} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{4} {(e^{x})}^{2}}$

Étape 7.5.3

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

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Étape 7.5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{4} e^{x \cdot 2}}$

Étape 7.5.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{4} e^{2 x}}$

Étape 7.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 45 e^{x} x^{2} - 5 e^{x} x^{3} - 80 e^{x} x}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Étape 7.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.7.1

Factorisez $5 e^{x} x$ à partir de $- 45 e^{x} x^{2} - 5 e^{x} x^{3} - 80 e^{x} x$ .

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Étape 7.7.1.1

Factorisez $5 e^{x} x$ à partir de $- 45 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x) - 5 e^{x} x^{3} - 80 e^{x} x}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Étape 7.7.1.2

Factorisez $5 e^{x} x$ à partir de $- 5 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x) + 5 e^{x} x (- x^{2}) - 80 e^{x} x}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Étape 7.7.1.3

Factorisez $5 e^{x} x$ à partir de $- 80 e^{x} x$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x) + 5 e^{x} x (- x^{2}) + 5 e^{x} x (- 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Étape 7.7.1.4

Factorisez $5 e^{x} x$ à partir de $5 e^{x} x (- 9 x) + 5 e^{x} x (- x^{2})$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x - x^{2}) + 5 e^{x} x (- 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Étape 7.7.1.5

Factorisez $5 e^{x} x$ à partir de $5 e^{x} x (- 9 x - x^{2}) + 5 e^{x} x (- 16)$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x - x^{2} - 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Étape 7.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5 e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Étape 7.8

Annulez le facteur commun à $5$ et $25$ .

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Étape 7.8.1

Factorisez $5$ à partir de $5 e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)$ .

$\frac{5 (e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Étape 7.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.8.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25 e^{2 x} x^{4}$ .

$\frac{5 (e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 (5 e^{2 x} x^{4})}$

Étape 7.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 (5 e^{2 x} x^{4})}$

Étape 7.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)}{5 e^{2 x} x^{4}}$

Étape 7.9

Annulez le facteur commun à $e^{x}$ et $e^{2 x}$ .

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Étape 7.9.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 e^{2 x} x^{4}}$

Étape 7.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.9.2.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $5 e^{2 x} x^{4}$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{e^{2 x} (5 x^{4})}$

Étape 7.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{e^{2 x} (5 x^{4})}$

Étape 7.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16)}{5 x^{4}}$

Étape 7.10

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 7.10.1

Factorisez $x$ à partir de $e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16)$ .

$\frac{x (e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 x^{4}}$

Étape 7.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.10.2.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{4}$ .

$\frac{x (e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16))}{x (5 x^{3})}$

Étape 7.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16))}{x (5 x^{3})}$

Étape 7.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16)}{5 x^{3}}$

Étape 7.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2}) - 9 x - 16)}{5 x^{3}}$

Étape 7.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 x$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2}) - (9 x) - 16)}{5 x^{3}}$

Étape 7.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (9 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2} + 9 x) - 16)}{5 x^{3}}$

Étape 7.14

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2} + 9 x) - 1 (16))}{5 x^{3}}$

Étape 7.15

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + 9 x) - 1 (16)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2} + 9 x + 16))}{5 x^{3}}$

Étape 7.16

Réécrivez $- (x^{2} + 9 x + 16)$ comme $- 1 (x^{2} + 9 x + 16)$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (x^{2} + 9 x + 16))}{5 x^{3}}$

Étape 7.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{e^{- x} (x^{2} + 9 x + 16)}{5 x^{3}}$