Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{5} + 1}{x^{4}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{5} + 1$ et $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [x^{5} + 1] - (x^{5} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{5} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{x^{4} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{5} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{4} (5 x^{4} + 0) - (x^{5} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 2.4

Additionnez $5 x^{4}$ et $0$ .

$\frac{x^{4} (5 x^{4}) - (x^{5} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{x^{4} (5 x^{4}) - (x^{5} + 1) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{4} (5 x^{4}) + (- x^{5} - 1 \cdot 1) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{4} (5 x^{4}) - x^{5} (4 x^{3}) - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 x^{4} x^{4} - x^{5} (4 x^{3}) - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $x^{4}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4} x^{4}) - x^{5} (4 x^{3}) - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 x^{4 + 4} - x^{5} (4 x^{3}) - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{5 x^{8} - x^{5} (4 x^{3}) - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 x^{8} - 1 \cdot 4 x^{5} x^{3} - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $x^{5}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{5 x^{8} - 1 \cdot 4 (x^{3} x^{5}) - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 x^{8} - 1 \cdot 4 x^{3 + 5} - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.3

Additionnez $3$ et $5$ .

$\frac{5 x^{8} - 1 \cdot 4 x^{8} - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{5 x^{8} - 4 x^{8} - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{5 x^{8} - 4 x^{8} - 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 3.3.1.7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{5 x^{8} - 4 x^{8} - 4 x^{3}}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $4 x^{8}$ de $5 x^{8}$ .

$\frac{x^{8} - 4 x^{3}}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 3.4

Associez des termes.

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Étape 3.4.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 3.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{8} - 4 x^{3}}{x^{4 \cdot 2}}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{x^{8} - 4 x^{3}}{x^{8}}$

Étape 3.4.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{8} - 4 x^{3}$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} x^{5} - 4 x^{3}}{x^{8}}$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} x^{5} + x^{3} \cdot - 4}{x^{8}}$

Étape 3.4.2.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x^{5} + x^{3} \cdot - 4$ .

$\frac{x^{3} (x^{5} - 4)}{x^{8}}$

Étape 3.4.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (x^{5} - 4)}{x^{3} x^{5}}$

Étape 3.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} (x^{5} - 4)}{x^{3} x^{5}}$

Étape 3.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{5} - 4}{x^{5}}$