Calcul infinitésimal Exemples

$p (t) = \frac{\sqrt{t}}{2 t - 3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = \sqrt{t}$ et $g (t) = 2 t - 3$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{d}{d t} [\sqrt{t}] - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(2 t - 3) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 3]}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 t - 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 10

Évaluez $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Étape 10.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 10.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 11.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 + 0)}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 11.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{(2 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t$ .

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 (t^{\frac{1}{2}})} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{t \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.2.2

Associez $t$ et $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t}{t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.2.3

Placez $t^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.2.4

Multipliez $t$ par $t^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.2.4.1

Multipliez $t$ par $t^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 12.2.4.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.2.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{t^{1 - \frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.2.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{t^{\frac{2 - 1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.2.4.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.2.5

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.3.1

Pour écrire $t^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.2

Associez $t^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.3.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.4.2

Multipliez $t^{\frac{1}{2}}$ par $t^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.3.4.2.1

Déplacez $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1 + 1}{2}} - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.4.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{2 t^{\frac{2}{2}} - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.4.2.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{2 t^{1} - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.4.3

Simplifiez $2 t^{1}$ .

$\frac{\frac{2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.5

Pour écrire $- 2 \sqrt{t}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.6

Associez $- 2 \sqrt{t}$ et $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 t - 3 - 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.3.8.1

Multipliez $- 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 12.3.8.1.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 \sqrt{t} t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.8.1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.8.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.8.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 t^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.8.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 t^{\frac{2}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.8.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.3.8.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 t^{\frac{2}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.8.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 t^{1}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.8.2

Simplifiez

$\frac{\frac{2 t - 3 - 4 t}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.3.8.3

Soustrayez $4 t$ de $2 t$ .

$\frac{\frac{- 2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{- 2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.5

Multipliez $\frac{- 2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{{(2 t - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 t - 3}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 t$ .

$\frac{- (2 t) - 3}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.7

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{- (2 t) - 1 (3)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 t) - 1 (3)$ .

$\frac{- (2 t + 3)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.9

Réécrivez $- (2 t + 3)$ comme $- 1 (2 t + 3)$ .

$\frac{- 1 (2 t + 3)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 3)}^{2}}$

Étape 12.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 3)}^{2}}$