Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{8 x^{6} - 6 x^{8}}{x^{4}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 8 x^{6} - 6 x^{8}$ et $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [8 x^{6} - 6 x^{8}] - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{6} - 6 x^{8}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]$ .

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [8 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{6}]$ .

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Étape 3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{6}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{x^{4} (8 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{x^{4} (8 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $6$ par $8$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]$ .

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Étape 4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{8}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 6 \frac{d}{d x} [x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 6 (8 x^{7})) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 4.3

Multipliez $8$ par $- 6$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 48 x^{7}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7} + 48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7} + 48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) + (- (8 x^{6}) - (- 6 x^{8})) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 48 x^{4} x^{7} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4.1.2

Multipliez $x^{4}$ par $x^{7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.2.1

Déplacez $x^{7}$ .

$\frac{- 48 (x^{7} x^{4}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 48 x^{7 + 4} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4.1.2.3

Additionnez $7$ et $4$ .

$\frac{- 48 x^{11} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{4} x^{5} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4.1.4

Multipliez $x^{4}$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.4.1

Déplacez $x^{5}$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 (x^{5} x^{4}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{5 + 4} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4.1.4.3

Additionnez $5$ et $4$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4.1.5

Multipliez $x^{6}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.5.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 (x^{3} x^{6})) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{3 + 6}) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4.1.5.3

Additionnez $3$ et $6$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{9}) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4.1.6

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 8 x^{9} \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4.1.7

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4.1.8

Multipliez $x^{8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.8.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 (x^{3} x^{8})) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4.1.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{3 + 8}) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4.1.8.3

Additionnez $3$ et $8$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{11}) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4.1.9

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} + 6 x^{11} \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4.1.10

Multipliez $4$ par $6$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} + 24 x^{11}}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4.2

Additionnez $- 48 x^{11}$ et $24 x^{11}$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9}}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.4.3

Soustrayez $32 x^{9}$ de $48 x^{9}$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 6.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 6.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{x^{4 \cdot 2}}$

Étape 6.5.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{x^{8}}$

Étape 6.6

Factorisez $8 x^{9}$ à partir de $- 24 x^{11} + 16 x^{9}$ .

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Étape 6.6.1

Factorisez $8 x^{9}$ à partir de $- 24 x^{11}$ .

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 16 x^{9}}{x^{8}}$

Étape 6.6.2

Factorisez $8 x^{9}$ à partir de $16 x^{9}$ .

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 8 x^{9} (2)}{x^{8}}$

Étape 6.6.3

Factorisez $8 x^{9}$ à partir de $8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 8 x^{9} (2)$ .

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2} + 2)}{x^{8}}$

Étape 6.7

Annulez le facteur commun à $x^{9}$ et $x^{8}$ .

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Étape 6.7.1

Factorisez $x^{8}$ à partir de $8 x^{9} (- 3 x^{2} + 2)$ .

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8}}$

Étape 6.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.7.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8} \cdot 1}$

Étape 6.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8} \cdot 1}$

Étape 6.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 x (- 3 x^{2} + 2)}{1}$

Étape 6.7.2.4

Divisez $8 x (- 3 x^{2} + 2)$ par $1$ .

$8 x (- 3 x^{2} + 2)$

Étape 6.8

Appliquez la propriété distributive.

$8 x (- 3 x^{2}) + 8 x \cdot 2$

Étape 6.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 8 x \cdot 2$

Étape 6.10

Multipliez $2$ par $8$ .

$8 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 16 x$

Étape 6.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.11.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.11.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$8 \cdot - 3 (x^{2} x) + 16 x$

Étape 6.11.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.11.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$8 \cdot - 3 (x^{2} x^{1}) + 16 x$

Étape 6.11.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 \cdot - 3 x^{2 + 1} + 16 x$

Étape 6.11.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$8 \cdot - 3 x^{3} + 16 x$

Étape 6.11.2

Multipliez $8$ par $- 3$ .

$- 24 x^{3} + 16 x$