Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{(3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3)}{3 x + 5}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3)$ et $g (x) = 3 x + 5$ .

$\frac{(3 x + 5) \frac{d}{d x} [(3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3)] - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 3 x^{2} + 5 x - 7$ et $g (x) = x^{2} - 3$ .

$\frac{(3 x + 5) ((3 x^{2} + 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 7]) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(3 x + 5) ((3 x^{2} + 5 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 7]) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(3 x + 5) ((3 x^{2} + 5 x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 7]) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(3 x + 5) ((3 x^{2} + 5 x - 7) (2 x + 0) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 7]) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(3 x + 5) ((3 x^{2} + 5 x - 7) (2 x) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 7]) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $3 x^{2} + 5 x - 7$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 \cdot (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 7]) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 5 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.9

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.11

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.12

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + 5 + 0)) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.13

Additionnez $6 x + 5$ et $0$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2} + 5 x - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + 5)) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x + 5) ((2 (3 x^{2}) + 2 (5 x) + 2 \cdot - 7) x + (x^{2} - 3) (6 x + 5)) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2}) x + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + (x^{2} - 3) (6 x + 5)) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2}) x + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + (x^{2} - 3) (6 x) + (x^{2} - 3) \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2}) x + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + (x^{2} - 3) \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x + 5) (2 (3 x^{2}) x + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6

Associez des termes.

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Étape 4.6.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{2} x + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 (x^{1} x^{2}) + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{1 + 2} + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 2 (5 x) x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.5

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x \cdot x + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 (x^{1} x) + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} + 2 \cdot - 7 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.10

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + x^{2} (6 x) - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.11

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.11.1

Déplacez $x$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + x \cdot x^{2} \cdot 6 - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.11.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.6.11.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + x^{1} x^{2} \cdot 6 - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + x^{1 + 2} \cdot 6 - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.11.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + x^{3} \cdot 6 - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.12

Déplacez $6$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + 6 \cdot x^{3} - 3 (6 x) + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.13

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + 6 x^{3} - 18 x + x^{2} \cdot 5 - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.14

Déplacez $5$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + 6 x^{3} - 18 x + 5 \cdot x^{2} - 3 \cdot 5) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.15

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$\frac{(3 x + 5) (6 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x + 6 x^{3} - 18 x + 5 x^{2} - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.16

Additionnez $6 x^{3}$ et $6 x^{3}$ .

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 10 x^{2} - 14 x - 18 x + 5 x^{2} - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.17

Soustrayez $18 x$ de $- 14 x$ .

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 10 x^{2} - 32 x + 5 x^{2} - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.18

Additionnez $10 x^{2}$ et $5 x^{2}$ .

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 6

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 6.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 6.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) (3 + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 7.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) (3 + 0)}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 7.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) - (3 x^{2} + 5 x - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15) + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Développez $(3 x + 5) (12 x^{3} + 15 x^{2} - 32 x - 15)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{3 x (12 x^{3}) + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 \cdot 12 x \cdot x^{3} + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.1.2.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot 12 (x^{3} x) + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.2.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 8.2.1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \cdot 12 (x^{3} x^{1}) + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 \cdot 12 x^{3 + 1} + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{3 \cdot 12 x^{4} + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.3

Multipliez $3$ par $12$ .

$\frac{36 x^{4} + 3 x (15 x^{2}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{36 x^{4} + 3 \cdot 15 x \cdot x^{2} + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.1.2.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{36 x^{4} + 3 \cdot 15 (x^{2} x) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 8.2.1.2.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{36 x^{4} + 3 \cdot 15 (x^{2} x^{1}) + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{36 x^{4} + 3 \cdot 15 x^{2 + 1} + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{36 x^{4} + 3 \cdot 15 x^{3} + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.6

Multipliez $3$ par $15$ .

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} + 3 x (- 32 x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} + 3 \cdot - 32 x \cdot x + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.1.2.8.1

Déplacez $x$ .

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} + 3 \cdot - 32 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} + 3 \cdot - 32 x^{2} + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.9

Multipliez $3$ par $- 32$ .

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} - 96 x^{2} + 3 x \cdot - 15 + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.10

Multipliez $- 15$ par $3$ .

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} - 96 x^{2} - 45 x + 5 (12 x^{3}) + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.11

Multipliez $12$ par $5$ .

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} - 96 x^{2} - 45 x + 60 x^{3} + 5 (15 x^{2}) + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.12

Multipliez $15$ par $5$ .

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} - 96 x^{2} - 45 x + 60 x^{3} + 75 x^{2} + 5 (- 32 x) + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.13

Multipliez $- 32$ par $5$ .

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} - 96 x^{2} - 45 x + 60 x^{3} + 75 x^{2} - 160 x + 5 \cdot - 15 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.14

Multipliez $5$ par $- 15$ .

$\frac{36 x^{4} + 45 x^{3} - 96 x^{2} - 45 x + 60 x^{3} + 75 x^{2} - 160 x - 75 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.3

Additionnez $45 x^{3}$ et $60 x^{3}$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 96 x^{2} - 45 x + 75 x^{2} - 160 x - 75 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.4

Additionnez $- 96 x^{2}$ et $75 x^{2}$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 45 x - 160 x - 75 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.5

Soustrayez $160 x$ de $- 45 x$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- (3 x^{2}) - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.6.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{2} - (5 x) - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.6.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{2} - 5 x - - 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.6.3

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{2} - 5 x + 7) (x^{2} - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.7

Développez $(- 3 x^{2} - 5 x + 7) (x^{2} - 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{2} x^{2} - 3 x^{2} \cdot - 3 - 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.8.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.1.8.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 (x^{2} x^{2}) - 3 x^{2} \cdot - 3 - 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{2 + 2} - 3 x^{2} \cdot - 3 - 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} - 3 x^{2} \cdot - 3 - 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8.2

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8.3

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.1.8.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 (x^{2} x) - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 8.2.1.8.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 (x^{2} x^{1}) - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 x^{2 + 1} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 x^{3} - 5 x \cdot - 3 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8.4

Multipliez $- 3$ par $- 5$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 x^{3} + 15 x + 7 x^{2} + 7 \cdot - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8.5

Multipliez $7$ par $- 3$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 9 x^{2} - 5 x^{3} + 15 x + 7 x^{2} - 21) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.9

Additionnez $9 x^{2}$ et $7 x^{2}$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + (- 3 x^{4} + 16 x^{2} - 5 x^{3} + 15 x - 21) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 - 3 x^{4} \cdot 3 + 16 x^{2} \cdot 3 - 5 x^{3} \cdot 3 + 15 x \cdot 3 - 21 \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.11

Simplifiez

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Étape 8.2.1.11.1

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 - 9 x^{4} + 16 x^{2} \cdot 3 - 5 x^{3} \cdot 3 + 15 x \cdot 3 - 21 \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.11.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 - 9 x^{4} + 48 x^{2} - 5 x^{3} \cdot 3 + 15 x \cdot 3 - 21 \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.11.3

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 - 9 x^{4} + 48 x^{2} - 15 x^{3} + 15 x \cdot 3 - 21 \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.11.4

Multipliez $3$ par $15$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 - 9 x^{4} + 48 x^{2} - 15 x^{3} + 45 x - 21 \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.1.11.5

Multipliez $- 21$ par $3$ .

$\frac{36 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 - 9 x^{4} + 48 x^{2} - 15 x^{3} + 45 x - 63}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Soustrayez $9 x^{4}$ de $36 x^{4}$ .

$\frac{27 x^{4} + 105 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + 48 x^{2} - 15 x^{3} + 45 x - 63}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.3

Soustrayez $15 x^{3}$ de $105 x^{3}$ .

$\frac{27 x^{4} + 90 x^{3} - 21 x^{2} - 205 x - 75 + 48 x^{2} + 45 x - 63}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.4

Additionnez $- 21 x^{2}$ et $48 x^{2}$ .

$\frac{27 x^{4} + 90 x^{3} + 27 x^{2} - 205 x - 75 + 45 x - 63}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.5

Additionnez $- 205 x$ et $45 x$ .

$\frac{27 x^{4} + 90 x^{3} + 27 x^{2} - 160 x - 75 - 63}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Étape 8.2.6

Soustrayez $63$ de $- 75$ .

$\frac{27 x^{4} + 90 x^{3} + 27 x^{2} - 160 x - 138}{{(3 x + 5)}^{2}}$