Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{{(4 x - 3)}^{8}}$ , $x = 1$

Étape 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $1$ .

$y = \frac{1}{{(4 (1) - 3)}^{8}}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{{(4 (1) - 3)}^{8}}$

Étape 1.2.2

Simplifiez $\frac{1}{{(4 (1) - 3)}^{8}}$ .

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.2.1.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$y = \frac{1}{{(4 - 3)}^{8}}$

Étape 1.2.2.1.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$y = \frac{1}{1^{8}}$

Étape 1.2.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{1}{1}$

Étape 1.2.2.2

Divisez $1$ par $1$ .

$y = 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(4 x - 3)}^{8}$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{({(4 x - 3)}^{8})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 x - 3)}^{8})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{(4 x - 3)}^{8 \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Étape 2.2.3

Multipliez ${(4 x - 3)}^{8}$ par $1$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{8}$ et $g (x) = 4 x - 3$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x - 3$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 3$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - x (8 {(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Étape 2.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.4.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - 8 x ({(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Étape 2.4.2

Factorisez ${(4 x - 3)}^{7}$ à partir de ${(4 x - 3)}^{8} - 8 x ({(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])$ .

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Étape 2.4.2.1

Factorisez ${(4 x - 3)}^{7}$ à partir de ${(4 x - 3)}^{8}$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3) - 8 x ({(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Étape 2.4.2.2

Factorisez ${(4 x - 3)}^{7}$ à partir de $- 8 x ({(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3) + {(4 x - 3)}^{7} (- 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Étape 2.4.2.3

Factorisez ${(4 x - 3)}^{7}$ à partir de ${(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3) + {(4 x - 3)}^{7} (- 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Étape 2.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.1

Factorisez ${(4 x - 3)}^{7}$ à partir de ${(4 x - 3)}^{16}$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))}{{(4 x - 3)}^{7} {(4 x - 3)}^{9}}$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))}{{(4 x - 3)}^{7} {(4 x - 3)}^{9}}$

Étape 2.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Étape 2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Étape 2.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Étape 2.9

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (4 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Étape 2.10

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (4 + 0)}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Étape 2.11

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.11.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x \cdot 4}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$\frac{4 x - 3 - 32 x}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Étape 2.11.3

Soustrayez $32 x$ de $4 x$ .

$\frac{- 28 x - 3}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Étape 2.12

Simplifiez

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Étape 2.12.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 28 x$ .

$\frac{- (28 x) - 3}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Étape 2.12.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{- (28 x) - 1 (3)}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Étape 2.12.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (28 x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (28 x + 3)}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Étape 2.12.4

Réécrivez $- (28 x + 3)$ comme $- 1 (28 x + 3)$ .

$\frac{- 1 (28 x + 3)}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Étape 2.12.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{28 x + 3}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Étape 2.13

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$- \frac{28 (1) + 3}{{(4 (1) - 3)}^{9}}$

Étape 2.14

Simplifiez

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Étape 2.14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.14.1.1

Multipliez $28$ par $1$ .

$- \frac{28 + 3}{{(4 (1) - 3)}^{9}}$

Étape 2.14.1.2

Additionnez $28$ et $3$ .

$- \frac{31}{{(4 (1) - 3)}^{9}}$

Étape 2.14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.14.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$- \frac{31}{{(4 - 3)}^{9}}$

Étape 2.14.2.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$- \frac{31}{1^{9}}$

Étape 2.14.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{31}{1}$

Étape 2.14.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.14.3.1

Divisez $31$ par $1$ .

$- 1 \cdot 31$

Étape 2.14.3.2

Multipliez $- 1$ par $31$ .

$- 31$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- 31$ et un point donné, tel que $(1, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 31 \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - 31 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- 31 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - 31 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = - 31 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - 31 x - 31 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $- 31$ par $- 1$ .

$y - 1 = - 31 x + 31$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 31 x + 31 + 1$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $31$ et $1$ .

$y = - 31 x + 32$

Étape 4