Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 \tan (x)$ , $x = \frac{π}{3}$

Étape 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = \frac{π}{3}$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $\frac{π}{3}$ .

$y = 5 \tan (\frac{π}{3})$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 5 \tan (\frac{π}{3})$

Étape 1.2.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{3}$ et $y = 5 \sqrt{3}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \tan (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$5 \sec^{2} (x)$

Étape 2.3

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{3}$ .

$5 \sec^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{3})$ est $2$ .

$5 \cdot 2^{2}$

Étape 2.4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$5 \cdot 4$

Étape 2.4.3

Multipliez $5$ par $4$ .

$20$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $20$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{3}, 5 \sqrt{3})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5 \sqrt{3}) = 20 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 5 \sqrt{3} = 20 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $20 \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 5 \sqrt{3} = 0 + 0 + 20 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 5 \sqrt{3} = 20 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 5 \sqrt{3} = 20 x + 20 (- \frac{π}{3})$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $20 (- \frac{π}{3})$ .

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Étape 3.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$y - 5 \sqrt{3} = 20 x - 20 \frac{π}{3}$

Étape 3.3.1.4.2

Associez $- 20$ et $\frac{π}{3}$ .

$y - 5 \sqrt{3} = 20 x + \frac{- 20 π}{3}$

Étape 3.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 5 \sqrt{3} = 20 x - \frac{20 π}{3}$

Étape 3.3.2

Ajoutez $5 \sqrt{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 20 x - \frac{20 π}{3} + 5 \sqrt{3}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour écrire $5 \sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = 20 x - \frac{20 π}{3} + 5 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.3.3.2

Associez $5 \sqrt{3}$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = 20 x - \frac{20 π}{3} + \frac{5 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Étape 3.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 20 x + \frac{- 20 π + 5 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Étape 3.3.3.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$y = 20 x + \frac{- 20 π + 15 \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 20 π$ .

$y = 20 x + \frac{- (20 π) + 15 \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $15 \sqrt{3}$ .

$y = 20 x + \frac{- (20 π) - (- 15 \sqrt{3})}{3}$

Étape 3.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (20 π) - (- 15 \sqrt{3})$ .

$y = 20 x + \frac{- (20 π - 15 \sqrt{3})}{3}$

Étape 3.3.3.8

Réécrivez $- (20 π - 15 \sqrt{3})$ comme $- 1 (20 π - 15 \sqrt{3})$ .

$y = 20 x + \frac{- 1 (20 π - 15 \sqrt{3})}{3}$

Étape 3.3.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = 20 x - \frac{20 π - 15 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4