Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (2 x - x^{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.1.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - (2 x))$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - 2 x)$

Étape 1.1.2.7.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - 2 x)$ .

$f' (x) = (2 - 2 x) \frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}})$ .

$(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}})$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 - 2 x = 0$

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$

Étape 2.3

Définissez $2 - 2 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $2 - 2 x$ égal à $0$ .

$2 - 2 x = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $2 - 2 x = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 2$

Étape 2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 2$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 2$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Étape 2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 2}$

Étape 2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 2$ .

$x = 1$

Étape 2.4

Définissez $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$ égal à $0$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 2.4.2.2

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$ vraie.

$x = 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\arctan (2 x - x^{2})$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\arctan (2 (1) - {(1)}^{2})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\arctan (2 - {(1)}^{2})$

Étape 4.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\arctan (2 - 1 \cdot 1)$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\arctan (2 - 1)$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\arctan (1)$

Étape 4.1.2.3

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(1, \frac{π}{4})$

Étape 5