Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} - e^{3 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{3 x}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 1.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 1.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$e^{x} - (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 1.1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x} - (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$e^{x} - (e^{3 x} \cdot 3)$

Étape 1.1.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$e^{x} - (3 \cdot e^{3 x})$

Étape 1.1.3.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 e^{3 x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $e^{x} - 3 e^{3 x}$ .

$e^{x} - 3 e^{3 x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $e^{x} - 3 e^{3 x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$e^{x} - 3 e^{3 x} = 0$

Étape 2.2

Déplacez $- 3 e^{3 x}$ du côté droit de l’équation en l’ajoutant des deux côtés.

$e^{x} = 3 e^{3 x}$

Étape 2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (3 e^{3 x})$

Étape 2.4

Développez le côté gauche.

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Étape 2.4.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (3 e^{3 x})$

Étape 2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3 e^{3 x})$

Étape 2.4.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (3 e^{3 x})$

Étape 2.5

Développez le côté droit.

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Étape 2.5.1

Réécrivez $\ln (3 e^{3 x})$ comme $\ln (3) + \ln (e^{3 x})$ .

$x = \ln (3) + \ln (e^{3 x})$

Étape 2.5.2

Développez $\ln (e^{3 x})$ en déplaçant $3 x$ hors du logarithme.

$x = \ln (3) + 3 x \ln (e)$

Étape 2.5.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x = \ln (3) + 3 x \cdot 1$

Étape 2.5.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$x = \ln (3) + 3 x$

Étape 2.6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.6.1

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$x - 3 x = \ln (3)$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$- 2 x = \ln (3)$

Étape 2.7

Divisez chaque terme dans $- 2 x = \ln (3)$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.7.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = \ln (3)$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (3)}{- 2}$

Étape 2.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (3)}{- 2}$

Étape 2.7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{- 2}$

Étape 2.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (3)}{2}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $e^{x} - e^{3 x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{\ln (3)}{2}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{\ln (3)}{2}$ .

$e^{- \frac{\ln (3)}{2}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (3)}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (3)$ .

$e^{- (\frac{1}{2} \ln (3))} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Étape 4.1.2.1.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (3)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$e^{- \ln (3^{\frac{1}{2}})} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Étape 4.1.2.1.3

Simplifiez $- \ln (3^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$e^{\ln ({(3^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Étape 4.1.2.1.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(3^{\frac{1}{2}})}^{- 1} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez les exposants dans ${(3^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1.2.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot - 1} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Étape 4.1.2.1.5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$3^{\frac{- 1}{2}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Étape 4.1.2.1.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$3^{- \frac{1}{2}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Étape 4.1.2.1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{3 (- \frac{\ln (3)}{2})}$

Étape 4.1.2.1.7

Réécrivez $\frac{\ln (3)}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (3)$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{3 (- (\frac{1}{2} \ln (3)))}$

Étape 4.1.2.1.8

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (3)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{2}}))}$

Étape 4.1.2.1.9

Multipliez $3 (- \ln (3^{\frac{1}{2}}))$ .

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Étape 4.1.2.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.1.2.1.9.2

Simplifiez $- 3 \ln (3^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}$

Étape 4.1.2.1.10

Simplifiez $- \ln ({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}^{- 1})}$

Étape 4.1.2.1.11

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - {({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}^{- 1}$

Étape 4.1.2.1.12

Multipliez les exposants dans ${({(3^{\frac{1}{2}})}^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1.2.1.12.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{3 \cdot - 1}$

Étape 4.1.2.1.12.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$

Étape 4.1.2.1.13

Multipliez les exposants dans ${(3^{\frac{1}{2}})}^{- 3}$ .

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Étape 4.1.2.1.13.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{1}{2} \cdot - 3}$

Étape 4.1.2.1.13.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 3$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - 3^{\frac{- 3}{2}}$

Étape 4.1.2.1.13.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - 3^{- \frac{3}{2}}$

Étape 4.1.2.1.14

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3^{\frac{3}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $3^{\frac{1}{2}}$ par $3^{\frac{2}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1 + 2}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.2.3.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3^{\frac{2}{2}} - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.5.1

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{3^{1} - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.2.5.2

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.2.5.3

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(- \frac{\ln (3)}{2}, \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}})$

Étape 5