Calcul infinitésimal Exemples

$x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Étape 1.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Étape 1.1.2.5.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 6 (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 12 x$

Étape 1.1.4

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x = 0$

Étape 2.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x = 0$ par $2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x = 0$ par $2$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot 2 - 12 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot 2 - 12 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Étape 2.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 x^{\frac{3}{2}} - 12 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 24 x = 0 \cdot 2$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 24 x = 0$

Étape 2.3

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{\frac{3}{2}} - 24 x$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$x (5 x^{\frac{1}{2}}) - 24 x = 0$

Étape 2.3.2

Factorisez $x$ à partir de $- 24 x$ .

$x (5 x^{\frac{1}{2}}) + x \cdot - 24 = 0$

Étape 2.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x (5 x^{\frac{1}{2}}) + x \cdot - 24$ .

$x (5 x^{\frac{1}{2}} - 24) = 0$

Étape 2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$5 x^{\frac{1}{2}} - 24 = 0$

Étape 2.5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.6

Définissez $5 x^{\frac{1}{2}} - 24$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $5 x^{\frac{1}{2}} - 24$ égal à $0$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} - 24 = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $5 x^{\frac{1}{2}} - 24 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.6.2.1

Ajoutez $24$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x^{\frac{1}{2}} = 24$

Étape 2.6.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 24^{2}$

Étape 2.6.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 2.6.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.3.1.1

Simplifiez ${(5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.6.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 24^{2}$

Étape 2.6.2.3.1.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 24^{2}$

Étape 2.6.2.3.1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.6.2.3.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 24^{2}$

Étape 2.6.2.3.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.2.3.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 24^{2}$

Étape 2.6.2.3.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$25 x^{1} = 24^{2}$

Étape 2.6.2.3.1.1.4

Simplifiez

$25 x = 24^{2}$

Étape 2.6.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.3.2.1

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$25 x = 576$

Étape 2.6.2.4

Divisez chaque terme dans $25 x = 576$ par $25$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.4.1

Divisez chaque terme dans $25 x = 576$ par $25$ .

$\frac{25 x}{25} = \frac{576}{25}$

Étape 2.6.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 2.6.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 x}{25} = \frac{576}{25}$

Étape 2.6.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{576}{25}$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (5 x^{\frac{1}{2}} - 24) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{576}{25}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{5 \sqrt{x^{3}}}{2} - 12 x$

Étape 3.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{3}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} < 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Étape 3.3.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < 0$

Étape 3.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Étape 4

Évaluez $x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{\frac{5}{2}} - 6 {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

${(0^{2})}^{\frac{5}{2}} - 6 {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{2 (\frac{5}{2})} - 6 {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$0^{2 (\frac{5}{2})} - 6 {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$0^{5} - 6 {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 6 \cdot 0$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{576}{25}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{576}{25}$ .

${(\frac{576}{25})}^{\frac{5}{2}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{576}{25}$ .

$\frac{576^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1.2.1

Réécrivez $576$ comme $24^{2}$ .

$\frac{{(24^{2})}^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{24^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{24^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{24^{5}}{25^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.2.4

Élevez $24$ à la puissance $5$ .

$\frac{7962624}{25^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.1.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{7962624}{{(5^{2})}^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7962624}{5^{2 (\frac{5}{2})}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7962624}{5^{2 (\frac{5}{2})}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{7962624}{5^{5}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.3.4

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$\frac{7962624}{3125} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{576}{25}$ .

$\frac{7962624}{3125} - 6 \frac{576^{2}}{25^{2}}$

Étape 4.2.2.1.5

Élevez $576$ à la puissance $2$ .

$\frac{7962624}{3125} - 6 \frac{331776}{25^{2}}$

Étape 4.2.2.1.6

Élevez $25$ à la puissance $2$ .

$\frac{7962624}{3125} - 6 (\frac{331776}{625})$

Étape 4.2.2.1.7

Multipliez $- 6 (\frac{331776}{625})$ .

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Étape 4.2.2.1.7.1

Associez $- 6$ et $\frac{331776}{625}$ .

$\frac{7962624}{3125} + \frac{- 6 \cdot 331776}{625}$

Étape 4.2.2.1.7.2

Multipliez $- 6$ par $331776$ .

$\frac{7962624}{3125} + \frac{- 1990656}{625}$

Étape 4.2.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{7962624}{3125} - \frac{1990656}{625}$

Étape 4.2.2.2

Pour écrire $- \frac{1990656}{625}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7962624}{3125} - \frac{1990656}{625} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 4.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3125$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Multipliez $\frac{1990656}{625}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7962624}{3125} - \frac{1990656 \cdot 5}{625 \cdot 5}$

Étape 4.2.2.3.2

Multipliez $625$ par $5$ .

$\frac{7962624}{3125} - \frac{1990656 \cdot 5}{3125}$

Étape 4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7962624 - 1990656 \cdot 5}{3125}$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.5.1

Multipliez $- 1990656$ par $5$ .

$\frac{7962624 - 9953280}{3125}$

Étape 4.2.2.5.2

Soustrayez $9953280$ de $7962624$ .

$\frac{- 1990656}{3125}$

Étape 4.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1990656}{3125}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (\frac{576}{25}, - \frac{1990656}{3125})$

Étape 5