Calcul infinitésimal Exemples

$- 6 \csc (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 \csc (x)$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 6 (- \csc (x) \cot (x))$

Étape 1.1.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$6 (\csc (x) \cot (x))$

Étape 1.1.3.2

Réorganisez les facteurs de $6 \csc (x) \cot (x)$ .

$f' (x) = 6 \cot (x) \csc (x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 \cot (x) \csc (x)$ .

$6 \cot (x) \csc (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 \cot (x) \csc (x) = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 \cot (x) \csc (x) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Étape 2.3

Définissez $\cot (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Définissez $\cot (x)$ égal à $0$ .

$\cot (x) = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $\cot (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (0)$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

La valeur exacte de $arccot (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 2.3.2.3

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{2}$

Étape 2.3.2.4

Simplifiez $π + \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 2.3.2.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 2.3.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 2.3.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.4.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Étape 2.3.2.4.3.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.3.2.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.3.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.3.2.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.4

Définissez $\csc (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $\csc (x)$ égal à $0$ .

$\csc (x) = 0$

Étape 2.4.2

La plage de la cosécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 \cot (x) \csc (x) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.6

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\cot (x)$ égal à $π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.2

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

${x | x = π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Évaluez $- 6 \csc (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{2}$ .

$- 6 \csc (\frac{π}{2})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 6 \cdot 1$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- 6$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{3 π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{3 π}{2}$ .

$- 6 \csc (\frac{3 π}{2})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cosécante est négative dans le quatrième quadrant.

$- 6 (- \csc (\frac{π}{2}))$

Étape 4.2.2.2

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 6 (- 1 \cdot 1)$

Étape 4.2.2.3

Multipliez $- 6 (- 1 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 6 \cdot - 1$

Étape 4.2.2.3.2

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$6$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{2} + 2 π n, - 6), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, 6)$ , pour tout entier $n$

Étape 5