Calcul infinitésimal Exemples

$6 \sin (x) + \sin (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$6 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Étape 1.1.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ .

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$

Étape 2.2

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$6 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$6 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez le $- 4 \sin^{2} (x)$ par $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 2.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 2.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.4.3

Soustrayez $4$ de $2$ .

$6 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2.4.4

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$4 \cos^{2} (x) + 6 \cos (x) - 2 = 0$

Étape 2.4.5

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$4 {(u)}^{2} + 6 (u) - 2 = 0$

Étape 2.4.6

Factorisez $2$ à partir de $4 u^{2} + 6 u - 2$ .

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Étape 2.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) + 6 u - 2 = 0$

Étape 2.4.6.2

Factorisez $2$ à partir de $6 u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) - 2 = 0$

Étape 2.4.6.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) + 2 (- 1) = 0$

Étape 2.4.6.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 u^{2}) + 2 (3 u)$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1) = 0$

Étape 2.4.6.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$

Étape 2.4.7

Divisez chaque terme dans $2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.7.1

Divisez chaque terme dans $2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.4.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.4.7.2.1.2

Divisez $2 u^{2} + 3 u - 1$ par $1$ .

$2 u^{2} + 3 u - 1 = \frac{0}{2}$

Étape 2.4.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.7.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$2 u^{2} + 3 u - 1 = 0$

Étape 2.4.8

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.9

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 3$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.10

Simplifiez

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Étape 2.4.10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.10.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.10.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 2.4.10.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.10.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.10.1.3

Additionnez $9$ et $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Étape 2.4.11

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.11.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.11.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 2.4.11.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.11.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.11.1.3

Additionnez $9$ et $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Étape 2.4.11.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = \frac{- 3 + \sqrt{17}}{4}$

Étape 2.4.11.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{17}}{4}$

Étape 2.4.11.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{17}$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{17})}{4}$

Étape 2.4.11.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{17})$ .

$u = \frac{- 1 (3 - \sqrt{17})}{4}$

Étape 2.4.11.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Étape 2.4.12

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.12.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.12.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 2.4.12.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.12.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.12.1.3

Additionnez $9$ et $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.12.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Étape 2.4.12.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = \frac{- 3 - \sqrt{17}}{4}$

Étape 2.4.12.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{17}}{4}$

Étape 2.4.12.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{17}$ .

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{17})}{4}$

Étape 2.4.12.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (\sqrt{17})$ .

$u = \frac{- 1 (3 + \sqrt{17})}{4}$

Étape 2.4.12.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Étape 2.4.13

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Étape 2.4.14

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Étape 2.4.15

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Étape 2.4.16

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ .

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Étape 2.4.16.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

Étape 2.4.16.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.16.2.1

Évaluez $\arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 1.28619336$

Étape 2.4.16.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

Étape 2.4.16.4

Résolvez $x$ .

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Étape 2.4.16.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

Étape 2.4.16.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 1.28619336$ .

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Étape 2.4.16.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.28619336$

Étape 2.4.16.4.2.2

Soustrayez $1.28619336$ de $6.2831853$ .

$x = 4.99699194$

Étape 2.4.16.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 2.4.16.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.4.16.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.4.16.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.4.16.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.4.16.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.4.17

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ .

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Étape 2.4.17.1

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 2.4.18

Indiquez toutes les solutions.

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1.28619336$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1.28619336$ .

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2 (1.28619336))$

Étape 4.1.2

Multipliez $2$ par $1.28619336$ .

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 4.99699194$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $4.99699194$ .

$6 \sin (4.99699194) + \sin (2 (4.99699194))$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $4.99699194$ .

$6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 4.99699194 + 2 π$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $4.99699194 + 2 π$ .

$6 \sin (4.99699194 + 2 π) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1

Additionnez $4.99699194$ et $2 π$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $4.99699194$ et $2 π$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 \cdot 11.28017724)$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $2$ par $11.28017724$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)$

Étape 4.4

Évaluez sur $x = 4.99699194 + 4 π$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez $x$ par $4.99699194 + 4 π$ .

$6 \sin (4.99699194 + 4 π) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

Étape 4.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1

Additionnez $4.99699194$ et $4 π$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $4.99699194$ et $4 π$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 \cdot 17.56336255)$

Étape 4.4.2.3

Multipliez $2$ par $17.56336255$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)$

Étape 4.5

Évaluez sur $x = 4.99699194 + 6 π$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez $x$ par $4.99699194 + 6 π$ .

$6 \sin (4.99699194 + 6 π) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

Étape 4.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.1

Additionnez $4.99699194$ et $6 π$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

Étape 4.5.2.2

Additionnez $4.99699194$ et $6 π$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 \cdot 23.84654786)$

Étape 4.5.2.3

Multipliez $2$ par $23.84654786$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)$

Étape 4.6

Évaluez sur $x = 4.99699194 + 8 π$ .

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Étape 4.6.1

Remplacez $x$ par $4.99699194 + 8 π$ .

$6 \sin (4.99699194 + 8 π) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

Étape 4.6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.2.1

Additionnez $4.99699194$ et $8 π$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

Étape 4.6.2.2

Additionnez $4.99699194$ et $8 π$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 \cdot 30.12973317)$

Étape 4.6.2.3

Multipliez $2$ par $30.12973317$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634)$

Étape 4.7

Indiquez tous les points.

$(1.28619336 + 2 π n, 6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)), (4.99699194, 6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)), (4.99699194 + 2 π, 6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)), (4.99699194 + 4 π, 6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)), (4.99699194 + 6 π, 6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)), (4.99699194 + 8 π, 6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634))$ , pour tout entier $n$

Étape 5