Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} (114 - 4 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 114 - 4 x$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [114 - 4 x] + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $114 - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [114] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [114] + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $114$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $114$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- 4 x] + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- 4 \frac{d}{d x} [x]) + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (- 4 \cdot 1) + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.6.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x^{2} \cdot - 4 + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.6.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{2}$ .

$- 4 \cdot x^{2} + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 x^{2} + (114 - 4 x) (2 x)$

Étape 1.1.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $114 - 4 x$ .

$- 4 x^{2} + 2 \cdot (114 - 4 x) x$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 x^{2} + (2 \cdot 114 + 2 (- 4 x)) x$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 x^{2} + 2 \cdot 114 x + 2 (- 4 x) x$

Étape 1.1.3.3

Associez des termes.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $114$ .

$- 4 x^{2} + 228 x + 2 (- 4 x) x$

Étape 1.1.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$- 4 x^{2} + 228 x - 8 x \cdot x$

Étape 1.1.3.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 4 x^{2} + 228 x - 8 (x^{1} x)$

Étape 1.1.3.3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 4 x^{2} + 228 x - 8 (x^{1} x^{1})$

Étape 1.1.3.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 x^{2} + 228 x - 8 x^{1 + 1}$

Étape 1.1.3.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 4 x^{2} + 228 x - 8 x^{2}$

Étape 1.1.3.3.7

Soustrayez $8 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = - 12 x^{2} + 228 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 12 x^{2} + 228 x$ .

$- 12 x^{2} + 228 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 12 x^{2} + 228 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 12 x^{2} + 228 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $- 12 x$ à partir de $- 12 x^{2} + 228 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $- 12 x$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$- 12 x \cdot x + 228 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $- 12 x$ à partir de $228 x$ .

$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot - 19 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $- 12 x$ à partir de $- 12 x (x) - 12 x (- 19)$ .

$- 12 x (x - 19) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 19 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x - 19$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 19$ égal à $0$ .

$x - 19 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $19$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 19$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 12 x (x - 19) = 0$ vraie.

$x = 0, 19$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{2} (114 - 4 x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{2} (114 - 4 \cdot 0)$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 (114 - 4 \cdot 0)$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$0 (114 + 0)$

Étape 4.1.2.3

Additionnez $114$ et $0$ .

$0 \cdot 114$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $0$ par $114$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 19$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $19$ .

${(19)}^{2} (114 - 4 \cdot 19)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $19$ à la puissance $2$ .

$361 (114 - 4 \cdot 19)$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $- 4$ par $19$ .

$361 (114 - 76)$

Étape 4.2.2.3

Soustrayez $76$ de $114$ .

$361 \cdot 38$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $361$ par $38$ .

$13718$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (19, 13718)$

Étape 5