Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 x - 7)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 (12 x^{2} - 16 x - 7)}{{(3 x - 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{12 x^{2} - 16 x - 7}{{(3 x - 1)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{12 x^{2} - 16 x - 7}{{(3 x - 1)}^{2}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 12 x^{2} - 16 x - 7$ et $g (x) = {(3 x - 1)}^{2}$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [12 x^{2} - 16 x - 7] - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{({(3 x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [12 x^{2} - 16 x - 7] - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.1.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [12 x^{2} - 16 x - 7] - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{2} - 16 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.3.3

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $2$ par $12$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.3.6

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.3.8

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.3.9

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16 + 0) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.3.10

Additionnez $24 x - 16$ et $0$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 x - 1$ .

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Étape 1.1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 1$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16) - (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16) - (12 x^{2} - 16 x - 7) (2 u \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 1$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16) - (12 x^{2} - 16 x - 7) (2 (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) ((3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2

Factorisez $3 x - 1$ à partir de ${(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) ((3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$ .

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Étape 1.1.5.2.1

Factorisez $3 x - 1$ à partir de ${(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16)$ .

$4 \frac{(3 x - 1) ((3 x - 1) (24 x - 16)) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) ((3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.2

Factorisez $3 x - 1$ à partir de $- 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) ((3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$ .

$4 \frac{(3 x - 1) ((3 x - 1) (24 x - 16)) + (3 x - 1) (- 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x - 1]))}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.3

Factorisez $3 x - 1$ à partir de $(3 x - 1) ((3 x - 1) (24 x - 16)) + (3 x - 1) (- 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x - 1]))$ .

$4 \frac{(3 x - 1) ((3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x - 1]))}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.6.1

Factorisez $3 x - 1$ à partir de ${(3 x - 1)}^{4}$ .

$4 \frac{(3 x - 1) ((3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x - 1]))}{(3 x - 1) {(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{(3 x - 1) ((3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x - 1]))}{(3 x - 1) {(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.10

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.12

Associez les fractions.

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Étape 1.1.12.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.12.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 6 (12 x^{2} - 16 x - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.12.3

Associez $4$ et $\frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 6 (12 x^{2} - 16 x - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{4 ((3 x - 1) (24 x - 16) - 6 (12 x^{2} - 16 x - 7))}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13

Simplifiez

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Étape 1.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 ((3 x - 1) (24 x - 16) - 6 (12 x^{2}) - 6 (- 16 x) - 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 ((3 x - 1) (24 x - 16)) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.13.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.13.3.1.1

Développez $(3 x - 1) (24 x - 16)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.13.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (3 x (24 x - 16) - 1 (24 x - 16)) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (3 x (24 x) + 3 x \cdot - 16 - 1 (24 x - 16)) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (3 x (24 x) + 3 x \cdot - 16 - 1 (24 x) - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.13.3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.13.3.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 (3 \cdot 24 x \cdot x + 3 x \cdot - 16 - 1 (24 x) - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.13.3.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 (3 \cdot 24 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 16 - 1 (24 x) - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 (3 \cdot 24 x^{2} + 3 x \cdot - 16 - 1 (24 x) - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.2.1.3

Multipliez $3$ par $24$ .

$\frac{4 (72 x^{2} + 3 x \cdot - 16 - 1 (24 x) - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.2.1.4

Multipliez $- 16$ par $3$ .

$\frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 1 (24 x) - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.2.1.5

Multipliez $24$ par $- 1$ .

$\frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 24 x - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$\frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 24 x + 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.2.2

Soustrayez $24 x$ de $- 48 x$ .

$\frac{4 (72 x^{2} - 72 x + 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (72 x^{2}) + 4 (- 72 x) + 4 \cdot 16 + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.13.3.1.4.1

Multipliez $72$ par $4$ .

$\frac{288 x^{2} + 4 (- 72 x) + 4 \cdot 16 + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.4.2

Multipliez $- 72$ par $4$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 4 \cdot 16 + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.4.3

Multipliez $4$ par $16$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.5

Multipliez $12$ par $- 6$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 + 4 (- 72 x^{2}) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.6

Multipliez $- 72$ par $4$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 - 288 x^{2} + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.7

Multipliez $- 16$ par $- 6$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 - 288 x^{2} + 4 (96 x) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.8

Multipliez $96$ par $4$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 - 288 x^{2} + 384 x + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.9

Multipliez $4 (- 6 \cdot - 7)$ .

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Étape 1.1.13.3.1.9.1

Multipliez $- 6$ par $- 7$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 - 288 x^{2} + 384 x + 4 \cdot 42}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.1.9.2

Multipliez $4$ par $42$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 - 288 x^{2} + 384 x + 168}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.2

Associez les termes opposés dans $288 x^{2} - 288 x + 64 - 288 x^{2} + 384 x + 168$ .

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Étape 1.1.13.3.2.1

Soustrayez $288 x^{2}$ de $288 x^{2}$ .

$\frac{- 288 x + 64 + 0 + 384 x + 168}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.2.2

Additionnez $- 288 x + 64$ et $0$ .

$\frac{- 288 x + 64 + 384 x + 168}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.3

Additionnez $- 288 x$ et $384 x$ .

$\frac{96 x + 64 + 168}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3.4

Additionnez $64$ et $168$ .

$\frac{96 x + 232}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.4

Factorisez $8$ à partir de $96 x + 232$ .

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Étape 1.1.13.4.1

Factorisez $8$ à partir de $96 x$ .

$\frac{8 (12 x) + 232}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.4.2

Factorisez $8$ à partir de $232$ .

$\frac{8 (12 x) + 8 (29)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.13.4.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (12 x) + 8 (29)$ .

$f' (x) = \frac{8 (12 x + 29)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{8 (12 x + 29)}{{(3 x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{8 (12 x + 29)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{8 (12 x + 29)}{{(3 x - 1)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{8 (12 x + 29)}{{(3 x - 1)}^{3}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 (12 x + 29) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $8 (12 x + 29) = 0$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $8 (12 x + 29) = 0$ par $8$ .

$\frac{8 (12 x + 29)}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 (12 x + 29)}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $12 x + 29$ par $1$ .

$12 x + 29 = \frac{0}{8}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $8$ .

$12 x + 29 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $29$ des deux côtés de l’équation.

$12 x = - 29$

Étape 2.3.3

Divisez chaque terme dans $12 x = - 29$ par $12$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Divisez chaque terme dans $12 x = - 29$ par $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 29}{12}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 29}{12}$

Étape 2.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 29}{12}$

Étape 2.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{29}{12}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{8 (12 x + 29)}{{(3 x - 1)}^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(3 x - 1)}^{3} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 3.2.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 3.2.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 4

Évaluez $\frac{4 (12 x^{2} - 16 x - 7)}{{(3 x - 1)}^{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{29}{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{29}{12}$ .

$\frac{4 (12 {(- \frac{29}{12})}^{2} - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{29}{12}$ .

$\frac{4 (12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{29}{12})}^{2}) - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{29}{12}$ .

$\frac{4 (12 ({(- 1)}^{2} \frac{29^{2}}{12^{2}}) - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 (12 (1 \frac{29^{2}}{12^{2}}) - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $\frac{29^{2}}{12^{2}}$ par $1$ .

$\frac{4 (12 \frac{29^{2}}{12^{2}} - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.4

Élevez $29$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 (12 \frac{841}{12^{2}} - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.5

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 (12 (\frac{841}{144}) - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 4.1.2.1.6.1

Factorisez $12$ à partir de $144$ .

$\frac{4 (12 \frac{841}{12 (12)} - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (12 \frac{841}{12 \cdot 12} - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (\frac{841}{12} - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.7

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{29}{12}$ dans le numérateur.

$\frac{4 (\frac{841}{12} - 16 (\frac{- 29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.7.2

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$\frac{4 (\frac{841}{12} + 4 (- 4) \frac{- 29}{12} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.7.3

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{4 (\frac{841}{12} + 4 \cdot - 4 \frac{- 29}{4 \cdot 3} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.7.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (\frac{841}{12} + 4 \cdot - 4 \frac{- 29}{4 \cdot 3} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.7.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (\frac{841}{12} - 4 (\frac{- 29}{3}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.8

Associez $- 4$ et $\frac{- 29}{3}$ .

$\frac{4 (\frac{841}{12} + \frac{- 4 \cdot - 29}{3} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.9

Multipliez $- 4$ par $- 29$ .

$\frac{4 (\frac{841}{12} + \frac{116}{3} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.10

Pour écrire $\frac{116}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 (\frac{841}{12} + \frac{116}{3} \cdot \frac{4}{4} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.2.1.11.1

Multipliez $\frac{116}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 (\frac{841}{12} + \frac{116 \cdot 4}{3 \cdot 4} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.11.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{4 (\frac{841}{12} + \frac{116 \cdot 4}{12} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 (\frac{841 + 116 \cdot 4}{12} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.13.1

Multipliez $116$ par $4$ .

$\frac{4 (\frac{841 + 464}{12} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.13.2

Additionnez $841$ et $464$ .

$\frac{4 (\frac{1305}{12} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.14

Pour écrire $- 7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{4 (\frac{1305}{12} - 7 \cdot \frac{12}{12})}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.15

Associez $- 7$ et $\frac{12}{12}$ .

$\frac{4 (\frac{1305}{12} + \frac{- 7 \cdot 12}{12})}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 \frac{1305 - 7 \cdot 12}{12}}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.17.1

Multipliez $- 7$ par $12$ .

$\frac{4 \frac{1305 - 84}{12}}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.17.2

Soustrayez $84$ de $1305$ .

$\frac{4 (\frac{1221}{12})}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.18

Annulez le facteur commun à $1221$ et $12$ .

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Étape 4.1.2.1.18.1

Factorisez $3$ à partir de $1221$ .

$\frac{4 \frac{3 (407)}{12}}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1.18.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{4 \frac{3 \cdot 407}{3 \cdot 4}}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \frac{3 \cdot 407}{3 \cdot 4}}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{29}{12}$ dans le numérateur.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(3 (\frac{- 29}{12}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(3 \frac{- 29}{3 (4)} - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(3 \frac{- 29}{3 \cdot 4} - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(\frac{- 29}{4} - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(- \frac{29}{4} - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(- \frac{29}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(- \frac{29}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(\frac{- 29 - 1 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(\frac{- 29 - 4}{4})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.6.2

Soustrayez $4$ de $- 29$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(\frac{- 33}{4})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(- \frac{33}{4})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.8

Appliquez la règle de produit à $- \frac{33}{4}$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(- 1)}^{2} {(\frac{33}{4})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{1 {(\frac{33}{4})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{33}{4}$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{1 \frac{33^{2}}{4^{2}}}$

Étape 4.1.2.2.11

Élevez $33$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{1 \frac{1089}{4^{2}}}$

Étape 4.1.2.2.12

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{1 (\frac{1089}{16})}$

Étape 4.1.2.2.13

Multipliez $\frac{1089}{16}$ par $1$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{\frac{1089}{16}}$

Étape 4.1.2.3

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.3.1

Associez $4$ et $\frac{407}{4}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 407}{4}}{\frac{1089}{16}}$

Étape 4.1.2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.3.2.1

Multipliez $4$ par $407$ .

$\frac{\frac{1628}{4}}{\frac{1089}{16}}$

Étape 4.1.2.3.2.2

Divisez $1628$ par $4$ .

$\frac{407}{\frac{1089}{16}}$

Étape 4.1.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$407 (\frac{16}{1089})$

Étape 4.1.2.5

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Factorisez $11$ à partir de $407$ .

$11 (37) \frac{16}{1089}$

Étape 4.1.2.5.2

Factorisez $11$ à partir de $1089$ .

$11 \cdot 37 \frac{16}{11 \cdot 99}$

Étape 4.1.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$11 \cdot 37 \frac{16}{11 \cdot 99}$

Étape 4.1.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$37 (\frac{16}{99})$

Étape 4.1.2.6

Associez $37$ et $\frac{16}{99}$ .

$\frac{37 \cdot 16}{99}$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $37$ par $16$ .

$\frac{592}{99}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{1}{3}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4 (12 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) - 7)}{{(3 (\frac{1}{3}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (12 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) - 7)}{{(3 (\frac{1}{3}) - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (12 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) - 7)}{{(1 - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{4 (12 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) - 7)}{0^{2}}$

Étape 4.2.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4 (12 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) - 7)}{0}$

Étape 4.2.2.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{4 (12 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) - 7)}{0}$

Étape 4.2.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- \frac{29}{12}, \frac{592}{99})$

Étape 5