Calcul infinitésimal Exemples

$(24 - 2 x) (24 - 2 x) x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Élevez $24 - 2 x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{1} (24 - 2 x) x]$

Étape 1.1.2

Élevez $24 - 2 x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{1} {(24 - 2 x)}^{1} x]$

Étape 1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{1 + 1} x]$

Étape 1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2} x]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(24 - 2 x)}^{2}$ et $g (x) = x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2}]$

Étape 1.1.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.6.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2}]$

Étape 1.1.6.2

Multipliez ${(24 - 2 x)}^{2}$ par $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x \frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2}]$

Étape 1.1.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 24 - 2 x$ .

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Étape 1.1.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $24 - 2 x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [24 - 2 x])$

Étape 1.1.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 u \frac{d}{d x} [24 - 2 x])$

Étape 1.1.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $24 - 2 x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [24 - 2 x])$

Étape 1.1.8

Différenciez.

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Étape 1.1.8.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

Étape 1.1.8.2

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

Étape 1.1.8.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 1.1.8.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.1.8.5

Multipliez $- 2$ par $2$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.8.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 (24 - 2 x) \cdot 1)$

Étape 1.1.8.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 (24 - 2 x))$

Étape 1.1.9

Simplifiez

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Étape 1.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 \cdot 24 - 4 (- 2 x))$

Étape 1.1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 \cdot 24) + x (- 4 (- 2 x))$

Étape 1.1.9.3

Associez des termes.

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Étape 1.1.9.3.1

Multipliez $- 4$ par $24$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x \cdot - 96 + x (- 4 (- 2 x))$

Étape 1.1.9.3.2

Déplacez $- 96$ à gauche de $x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 \cdot x + x (- 4 (- 2 x))$

Étape 1.1.9.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + x (8 x)$

Étape 1.1.9.3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 (x^{1} x)$

Étape 1.1.9.3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 (x^{1} x^{1})$

Étape 1.1.9.3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 x^{1 + 1}$

Étape 1.1.9.3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 x^{2}$

Étape 1.1.9.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 x^{2} + {(24 - 2 x)}^{2} - 96 x$

Étape 1.1.9.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.5.1

Réécrivez ${(24 - 2 x)}^{2}$ comme $(24 - 2 x) (24 - 2 x)$ .

$8 x^{2} + (24 - 2 x) (24 - 2 x) - 96 x$

Étape 1.1.9.5.2

Développez $(24 - 2 x) (24 - 2 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.9.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 x^{2} + 24 (24 - 2 x) - 2 x (24 - 2 x) - 96 x$

Étape 1.1.9.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 x^{2} + 24 \cdot 24 + 24 (- 2 x) - 2 x (24 - 2 x) - 96 x$

Étape 1.1.9.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 x^{2} + 24 \cdot 24 + 24 (- 2 x) - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Étape 1.1.9.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.9.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.5.3.1.1

Multipliez $24$ par $24$ .

$8 x^{2} + 576 + 24 (- 2 x) - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Étape 1.1.9.5.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $24$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Étape 1.1.9.5.3.1.3

Multipliez $24$ par $- 2$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Étape 1.1.9.5.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 96 x$

Étape 1.1.9.5.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.9.5.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 96 x$

Étape 1.1.9.5.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 2 x^{2} - 96 x$

Étape 1.1.9.5.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x + 4 x^{2} - 96 x$

Étape 1.1.9.5.3.2

Soustrayez $48 x$ de $- 48 x$ .

$8 x^{2} + 576 - 96 x + 4 x^{2} - 96 x$

Étape 1.1.9.6

Additionnez $8 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} + 576 - 96 x - 96 x$

Étape 1.1.9.7

Soustrayez $96 x$ de $- 96 x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 576 - 192 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} + 576 - 192 x$ .

$12 x^{2} + 576 - 192 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} + 576 - 192 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{2} + 576 - 192 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} + 576 - 192 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) + 576 - 192 x = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $12$ à partir de $576$ .

$12 x^{2} + 12 \cdot 48 - 192 x = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $12$ à partir de $- 192 x$ .

$12 x^{2} + 12 \cdot 48 + 12 (- 16 x) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} + 12 \cdot 48$ .

$12 (x^{2} + 48) + 12 (- 16 x) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{2} + 48) + 12 (- 16 x)$ .

$12 (x^{2} + 48 - 16 x) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 48 - 16 x$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $48$ et dont la somme est $- 16$ .

$- 12, - 4$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$12 ((x - 12) (x - 4)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (x - 12) (x - 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 12 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 12$ égal à $0$ .

$x - 12 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 12$

Étape 2.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 (x - 12) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 12, 4$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $(24 - 2 x) (24 - 2 x) x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 12$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $12$ .

$(24 - 2 \cdot 12) (24 - 2 \cdot 12) (12)$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$(24 - 24) (24 - 2 \cdot 12) \cdot 12$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $24$ de $24$ .

$0 (24 - 2 \cdot 12) \cdot 12$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$0 (24 - 24) \cdot 12$

Étape 4.1.2.4

Soustrayez $24$ de $24$ .

$0 \cdot 0 \cdot 12$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $0 \cdot 0 \cdot 12$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $0$ par $0$ .

$0 \cdot 12$

Étape 4.1.2.5.2

Multipliez $0$ par $12$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$(24 - 2 \cdot 4) (24 - 2 \cdot 4) (4)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$(24 - 8) (24 - 2 \cdot 4) \cdot 4$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $8$ de $24$ .

$16 (24 - 2 \cdot 4) \cdot 4$

Étape 4.2.2.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$16 (24 - 8) \cdot 4$

Étape 4.2.2.4

Soustrayez $8$ de $24$ .

$16 \cdot 16 \cdot 4$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $16 \cdot 16 \cdot 4$ .

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Étape 4.2.2.5.1

Multipliez $16$ par $16$ .

$256 \cdot 4$

Étape 4.2.2.5.2

Multipliez $256$ par $4$ .

$1024$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(12, 0), (4, 1024)$

Étape 5