Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ ; $x = 2$

Étape 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 2$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $2$ .

$y = 4 (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 (2) {(2^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7}$

Étape 1.2.3

Simplifiez $4 (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7}$ .

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$y = 8 {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = 8 {(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{7}$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = 8 {(4 - 8 + 5)}^{7}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.3.3.1

Soustrayez $8$ de $4$ .

$y = 8 {(- 4 + 5)}^{7}$

Étape 1.2.3.3.2

Additionnez $- 4$ et $5$ .

$y = 8 \cdot 1^{7}$

Étape 1.2.3.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 8 \cdot 1$

Étape 1.2.3.3.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$y = 8$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 8$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}] + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = x^{2} - 4 x + 5$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4 x + 5$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$4 (x (7 u^{6} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4 x + 5$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.6

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.7

Additionnez $2 x - 4$ et $0$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \cdot 1)$

Étape 2.4.9

Multipliez ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ par $1$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7})$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4))) + 4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$

Étape 2.5.2

Multipliez $7$ par $4$ .

$28 (x ({(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4))) + 4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$

Étape 2.5.3

Factorisez $4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6}$ à partir de $28 x ({(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4)) + 4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ .

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Étape 2.5.3.1

Factorisez $4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6}$ à partir de $28 x ({(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4))$ .

$4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (7 x (2 x - 4)) + 4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$

Étape 2.5.3.2

Factorisez $4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6}$ à partir de $4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ .

$4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (7 x (2 x - 4)) + 4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (x^{2} - 4 x + 5)$

Étape 2.5.3.3

Factorisez $4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6}$ à partir de $4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (7 x (2 x - 4)) + 4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (x^{2} - 4 x + 5)$ .

$4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (7 x (2 x - 4) + x^{2} - 4 x + 5)$

Étape 2.6

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$4 {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{6} (7 (2) (2 (2) - 4) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{6} (7 (2) (2 (2) - 4) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$4 {(4 - 8 + 5)}^{6} (7 (2) (2 (2) - 4) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Étape 2.7.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.2.1

Soustrayez $8$ de $4$ .

$4 {(- 4 + 5)}^{6} (7 (2) (2 (2) - 4) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Étape 2.7.2.2

Additionnez $- 4$ et $5$ .

$4 \cdot 1^{6} (7 (2) (2 (2) - 4) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Étape 2.7.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \cdot 1 (7 (2) (2 (2) - 4) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Étape 2.7.2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 (7 (2) (2 (2) - 4) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Étape 2.7.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.3.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$4 (14 (2 (2) - 4) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Étape 2.7.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (14 (4 - 4) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Étape 2.7.3.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$4 (14 \cdot 0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Étape 2.7.3.4

Multipliez $14$ par $0$ .

$4 (0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Étape 2.7.3.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 (0 + 4 - 4 \cdot 2 + 5)$

Étape 2.7.3.6

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$4 (0 + 4 - 8 + 5)$

Étape 2.7.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.4.1

Additionnez $0$ et $4$ .

$4 (4 - 8 + 5)$

Étape 2.7.4.2

Soustrayez $8$ de $4$ .

$4 (- 4 + 5)$

Étape 2.7.4.3

Additionnez $- 4$ et $5$ .

$4 \cdot 1$

Étape 2.7.4.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $4$ et un point donné, tel que $(2, 8)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = 4 \cdot (x - (2))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 8 = 4 \cdot (x - 2)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $4 \cdot (x - 2)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 8 = 0 + 0 + 4 \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 8 = 4 \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 8 = 4 x + 4 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$y - 8 = 4 x - 8$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 4 x - 8 + 8$

Étape 3.3.2.2

Associez les termes opposés dans $4 x - 8 + 8$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$y = 4 x + 0$

Étape 3.3.2.2.2

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$y = 4 x$

Étape 4