Calcul infinitésimal Exemples

$\cot (\frac{11 π}{12})$

Étape 1

Pour convertir de radians en degrés, multipliez par $\frac{180}{π}$ , car un cercle entier fait $360 °$ ou $2 π$ radians.

$(\cot (\frac{11 π}{12})) \cdot \frac{180 °}{π}$

Étape 2

La valeur exacte de $\cot (\frac{11 π}{12})$ est $- 2 - \sqrt{3}$ .

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Étape 2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cotangente est négative dans le deuxième quadrant.

$- \cot (\frac{π}{12}) \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.2

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$- \cot (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$- \frac{\cot (\frac{π}{4}) \cot (\frac{π}{6}) + 1}{\cot (\frac{π}{6}) - \cot (\frac{π}{4})} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.4

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$- \frac{1 \cot (\frac{π}{6}) + 1}{\cot (\frac{π}{6}) - \cot (\frac{π}{4})} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.5

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{6})$ est $\sqrt{3}$ .

$- \frac{1 \sqrt{3} + 1}{\cot (\frac{π}{6}) - \cot (\frac{π}{4})} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.6

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{6})$ est $\sqrt{3}$ .

$- \frac{1 \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - \cot (\frac{π}{4})} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.7

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$- \frac{1 \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1 \cdot 1} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8

Simplifiez $- \frac{1 \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}$ .

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Étape 2.8.1

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1 \cdot 1} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.3

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ par $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}) \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.4

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ par $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ .

$- \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.5

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$- \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.6

Simplifiez

$- \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.7.1

Élevez $\sqrt{3} + 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{1} (\sqrt{3} + 1)}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.7.2

Élevez $\sqrt{3} + 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{1} {(\sqrt{3} + 1)}^{1}}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{1 + 1}}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.8

Simplifiez ${(\sqrt{3} + 1)}^{2}$ .

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Étape 2.8.8.1

Réécrivez ${(\sqrt{3} + 1)}^{2}$ comme $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)$ .

$- \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.8.2

Développez $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.8.8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} + 1) + 1 (\sqrt{3} + 1)}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.8.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} + 1)}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.8.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.8.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.8.8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.8.3.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.8.3.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{\sqrt{9} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.8.3.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.8.3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{3 + \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.8.3.1.5

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$- \frac{3 + \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.8.3.1.6

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$- \frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1 \cdot 1}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.8.3.1.7

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.8.3.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$- \frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.8.3.3

Additionnez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$- \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.9

Annulez le facteur commun à $4 + 2 \sqrt{3}$ et $2$ .

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Étape 2.8.9.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.9.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.9.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$- \frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.9.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.9.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.9.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.9.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.9.4.4

Divisez $2 + \sqrt{3}$ par $1$ .

$- (2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.10

Appliquez la propriété distributive.

$(- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{180}{π}$

Étape 2.8.11

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(- 2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{180}{π}$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \frac{180}{π} - \sqrt{3} \frac{180}{π}$

Étape 4

Multipliez $- 2 \frac{180}{π}$ .

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Étape 4.1

Associez $- 2$ et $\frac{180}{π}$ .

$\frac{- 2 \cdot 180}{π} - \sqrt{3} \frac{180}{π}$

Étape 4.2

Multipliez $- 2$ par $180$ .

$\frac{- 360}{π} - \sqrt{3} \frac{180}{π}$

Étape 5

Associez $\frac{180}{π}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 360}{π} - \frac{180 \sqrt{3}}{π}$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{360}{π} - \frac{180 \sqrt{3}}{π}$

Étape 7

$π$ est approximativement égal à $3.14159265$ .

$- \frac{360}{3.14159265} - \frac{180 \sqrt{3}}{3.14159265}$

Étape 8

Convertissez en une décimale.

$- 213.8307602 °$