Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{3 (1 - x)}$ ; $x = 0.4$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{3 (1 - x)}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{(1 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $1 - x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.3.7

Multipliez.

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Étape 1.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.3.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.3.9

Associez les fractions.

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Étape 1.3.9.1

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.3.9.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x)) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 x + 2 (- x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- (x \cdot x)) + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- x^{2}) + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.3.2

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.5

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} + 2 x$ .

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Étape 1.4.5.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 2 x}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.5.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 2}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (- x + 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.7

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x - 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.9

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x (x - 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Étape 2

Remplacez la variable $x$ par $0.4$ dans l’expression.

$f' (0.4) = - \frac{(0.4) ((0.4) - 2)}{3 {(1 - (0.4))}^{2}}$

Étape 3

Multipliez $0.4$ par $0.4 - 2$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 {(1 - (0.4))}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $0.4$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 {(1 - 0.4)}^{2}}$

Étape 4.2

Soustrayez $0.4$ de $1$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 \cdot {0.6}^{2}}$

Étape 4.3

Élevez $0.6$ à la puissance $2$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 \cdot 0.36}$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Multipliez $3$ par $0.36$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{1.08}$

Étape 5.2

Divisez $- 0.64$ par $1.08$ .

$f' (0.4) = 0.\overline{592}$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $- 0.\overline{592}$ .

$f' (0.4) = 0.\overline{592}$