Calcul infinitésimal Exemples

$F (x) = {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 10 x - 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $10 x - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $10 x - 9$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Étape 1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Étape 1.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Étape 1.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Étape 1.6

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Étape 1.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Étape 1.6.3

Placez ${(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Étape 1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 1.8

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 1.10

Multipliez $10$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 1.11

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0)$

Étape 1.12

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.12.1

Additionnez $10$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10$

Étape 1.12.2

Associez $\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $10$ .

$\frac{10}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.12.3

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{{(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$F' (1) = \frac{5}{{(10 (1) - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$F' (1) = \frac{5}{{(10 - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.2

Soustrayez $9$ de $10$ .

$F' (1) = \frac{5}{1^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$F' (1) = \frac{5}{1}$

Étape 4

Divisez $5$ par $1$ .

$F' (1) = 5$