Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ est indéfinie.

$- 2 < x < - 1, x = - \frac{1}{2}$

Étape 2

Comme $\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ depuis la gauche et $\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ depuis la droite, $x = - \frac{1}{2}$ est une asymptote verticale.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Factorisez $x^{2} + 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}{2 x + 1}$

Étape 3.2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Étape 3.3

Évaluez la limite.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.3.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x + 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x + 2) + 1 (x + 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.1.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.1.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.1.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.1.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.1.2.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.4.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.1.2.8.2

Simplifiez

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Étape 3.4.1.2.8.2.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.1.2.8.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2 x + x + 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.1.2.8.3

Additionnez $2 x$ et $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 3 x + 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.1.2.9

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x + 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.3.7

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.3.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.3.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.3.12

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.3.13

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.3.14

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.4.3.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{2 x}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.5

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{x}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.6

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.7

Évaluez la limite.

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Étape 3.7.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.7.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.7.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.7.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.7.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.7.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.7.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.9

Évaluez la limite.

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Étape 3.9.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 3.9.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 3.9.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 3.10

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + 0}$

Étape 3.11

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.11.1

Divisez $2 + 3 \cdot 0$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 3 \cdot 0)}}{2 + 0}$

Étape 3.11.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 0)}}{2 + 0}$

Étape 3.11.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 + 0}$

Étape 3.11.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2}{2}}}{2 + 0}$

Étape 3.11.2.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{1}}{2 + 0}$

Étape 3.11.2.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Étape 3.11.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 4

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 4.1

Factorisez $x^{2} + 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 4.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}{2 x + 1}$

Étape 4.2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Étape 4.3

Évaluez la limite.

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.3.3

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.3.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 1) (x + 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x + 2) + 1 (x + 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.1.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.1.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.1.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.1.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.1.2.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.4.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.1.2.8.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.2.8.2.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.1.2.8.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 2 x + x + 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.1.2.8.3

Additionnez $2 x$ et $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 3 x + 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.1.2.9

La limite à l’infini négatif d’un polynôme de degré pair dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.1.3

La limite à l’infini négatif d’un polynôme de degré pair dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 4.4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x + 2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.3.7

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.3.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.3.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.3.12

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.3.13

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1 + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.3.14

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.4.3.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.5

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.6

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.7

Évaluez la limite.

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Étape 4.7.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.7.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.7.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.7.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.7.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.7.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.7.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.9

Évaluez la limite.

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Étape 4.9.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Étape 4.9.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 4.9.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 4.10

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + 0}$

Étape 4.11

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.11.1

Divisez $2 + 3 \cdot 0$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} (2 + 3 \cdot 0)}}{2 + 0}$

Étape 4.11.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.11.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} (2 + 0)}}{2 + 0}$

Étape 4.11.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 + 0}$

Étape 4.11.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{2}{2}}}{2 + 0}$

Étape 4.11.2.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{2 + 0}$

Étape 4.11.2.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 + 0}$

Étape 4.11.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Étape 4.11.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Étape 4.11.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 5

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Étape 6

Utilisez la division polynomiale pour déterminer les asymptotes obliques. Comme cette expression contient un radical, la division polynomiale ne peut pas être réalisée.

Asymptotes obliques introuvables

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{1}{2}$

Asymptotes horizontales : $y = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Asymptotes obliques introuvables

Étape 8