Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = a x^{3} + b x$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = a {(x + h)}^{3} + b (x + h)$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = a (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + b (x + h)$

Étape 2.1.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = a x^{3} + a (3 x^{2} h) + a (3 x h^{2}) + a h^{3} + b (x + h)$

Étape 2.1.2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x + h) = a x^{3} + 3 a x^{2} h + a (3 x h^{2}) + a h^{3} + b (x + h)$

Étape 2.1.2.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x + h) = a x^{3} + 3 a x^{2} h + 3 a x h^{2} + a h^{3} + b (x + h)$

Étape 2.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = a x^{3} + 3 a x^{2} h + 3 a x h^{2} + a h^{3} + b x + b h$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $a x^{3} + 3 a x^{2} h + 3 a x h^{2} + a h^{3} + b x + b h$ .

$a x^{3} + 3 a x^{2} h + 3 a x h^{2} + a h^{3} + b x + b h$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$a x^{3} + 3 a h x^{2} + 3 a x h^{2} + a h^{3} + b x + b h$

Étape 2.2.2

Déplacez $x$ .

$a x^{3} + 3 a h x^{2} + 3 a h^{2} x + a h^{3} + b x + b h$

Étape 2.2.3

Déplacez $b x$ .

$a x^{3} + 3 a h x^{2} + 3 a h^{2} x + a h^{3} + b h + b x$

Étape 2.2.4

Déplacez $a x^{3}$ .

$3 a h x^{2} + 3 a h^{2} x + a h^{3} + a x^{3} + b h + b x$

Étape 2.2.5

Déplacez $3 a h x^{2}$ .

$3 a h^{2} x + a h^{3} + 3 a h x^{2} + a x^{3} + b h + b x$

Étape 2.2.6

Remettez dans l’ordre $3 a h^{2} x$ et $a h^{3}$ .

$a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + a x^{3} + b h + b x$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + a x^{3} + b h + b x$

$f (x) = a x^{3} + b x$

$f (x + h) = a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + a x^{3} + b h + b x$

$f (x) = a x^{3} + b x$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + a x^{3} + b h + b x - (a x^{3} + b x)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + a x^{3} + b h + b x - (a x^{3}) - (b x)}{h}$

Étape 4.1.2

Soustrayez $a x^{3}$ de $a x^{3}$ .

$\frac{a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b h + b x + 0 - b x}{h}$

Étape 4.1.3

Additionnez $a h^{3}$ et $0$ .

$\frac{a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b h + b x - b x}{h}$

Étape 4.1.4

Soustrayez $b x$ de $b x$ .

$\frac{a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b h + 0}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b h$ et $0$ .

$\frac{a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b h}{h}$

Étape 4.1.6

Factorisez $h$ à partir de $a h^{3} + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b h$ .

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $h$ à partir de $a h^{3}$ .

$\frac{h (a h^{2}) + 3 a h^{2} x + 3 a h x^{2} + b (h)}{h}$

Étape 4.1.6.2

Factorisez $h$ à partir de $3 a h^{2} x$ .

$\frac{h (a h^{2}) + h (3 a h x) + 3 a h x^{2} + b (h)}{h}$

Étape 4.1.6.3

Factorisez $h$ à partir de $3 a h x^{2}$ .

$\frac{h (a h^{2}) + h (3 a h x) + h (3 a x^{2}) + b (h)}{h}$

Étape 4.1.6.4

Factorisez $h$ à partir de $b h$ .

$\frac{h (a h^{2}) + h (3 a h x) + h (3 a x^{2}) + h (b)}{h}$

Étape 4.1.6.5

Factorisez $h$ à partir de $h (a h^{2}) + h (3 a h x)$ .

$\frac{h (a h^{2} + 3 a h x) + h (3 a x^{2}) + h (b)}{h}$

Étape 4.1.6.6

Factorisez $h$ à partir de $h (a h^{2} + 3 a h x) + h (3 a x^{2})$ .

$\frac{h (a h^{2} + 3 a h x + 3 a x^{2}) + h (b)}{h}$

Étape 4.1.6.7

Factorisez $h$ à partir de $h (a h^{2} + 3 a h x + 3 a x^{2}) + h (b)$ .

$\frac{h (a h^{2} + 3 a h x + 3 a x^{2} + b)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (a h^{2} + 3 a h x + 3 a x^{2} + b)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $a h^{2} + 3 a h x + 3 a x^{2} + b$ par $1$ .

$a h^{2} + 3 a h x + 3 a x^{2} + b$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $h$ .

$a h^{2} + 3 a x h + 3 a x^{2} + b$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $a h^{2}$ .

$3 a x h + 3 a x^{2} + a h^{2} + b$

Étape 4.2.2.3

Remettez dans l’ordre $3 a x h$ et $3 a x^{2}$ .

$3 a x^{2} + 3 a x h + a h^{2} + b$

Étape 5