Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4}{3}$ , $\frac{8}{3}$ , $\frac{16}{3}$ , $\frac{32}{3}$ , $\frac{64}{3}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $2$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = 2$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = \frac{4}{3}$ et $r = 2$ .

$a_{n} = \frac{4}{3} \cdot 2^{n - 1}$

Étape 4

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot 2^{n - 1}$ .

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Étape 4.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $2^{n - 1}$ .

$a_{n} = \frac{4 \cdot 2^{n - 1}}{3}$

Étape 4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$a_{n} = \frac{2^{2} \cdot 2^{n - 1}}{3}$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a_{n} = \frac{2^{2 + n - 1}}{3}$

Étape 4.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$a_{n} = \frac{2^{n + 1}}{3}$

Étape 5

Cette formule permet de déterminer la somme des $n$ premiers termes de la séquence géométrique. Pour l’évaluer, déterminez les valeurs de $r$ et $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Étape 6

Remplacez les variables par les valeurs connues pour déterminer $S_{5}$ .

$S_{5} = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(2)}^{5} - 1}{2 - 1}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$S_{5} = \frac{4}{3} \cdot \frac{32 - 1}{2 - 1}$

Étape 7.2

Soustrayez $1$ de $32$ .

$S_{5} = \frac{4}{3} \cdot \frac{31}{2 - 1}$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$S_{5} = \frac{4}{3} \cdot \frac{31}{1}$

Étape 8.2

Divisez $31$ par $1$ .

$S_{5} = \frac{4}{3} \cdot 31$

Étape 9

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot 31$ .

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Étape 9.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $31$ .

$S_{5} = \frac{4 \cdot 31}{3}$

Étape 9.2

Multipliez $4$ par $31$ .

$S_{5} = \frac{124}{3}$