Calcul infinitésimal Exemples

$f (θ) = \sqrt{\tan (θ) + \cot (θ)}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\tan (θ) + \cot (θ)}$ comme ${(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d θ} [{(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{\frac{1}{2}}$ et $g (θ) = \tan (θ) + \cot (θ)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\tan (θ) + \cot (θ)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (θ) + \cot (θ)$ .

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Étape 7.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(\tan (θ) + \cot (θ))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\tan (θ) + \cot (θ))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Étape 7.2.2

Placez ${(\tan (θ) + \cot (θ))}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Étape 7.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (θ) + \cot (θ)$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cot (θ)]$ .

$\frac{1}{2 {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cot (θ)])$

Étape 8

La dérivée de $\tan (θ)$ par rapport à $θ$ est $\sec^{2} (θ)$ .

$\frac{1}{2 {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}} (\sec^{2} (θ) + \frac{d}{d θ} [\cot (θ)])$

Étape 9

La dérivée de $\cot (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \csc^{2} (θ)$ .

$\frac{1}{2 {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}} (\sec^{2} (θ) - \csc^{2} (θ))$

Étape 10

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}} (\sec^{2} (θ) - \csc^{2} (θ))$ .

$(\sec^{2} (θ) - \csc^{2} (θ)) \frac{1}{2 {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}}$