Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x) - x \cos (x)$

Étape 1

Écrivez $\sin (x) - x \cos (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) - x \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f' (x) = \cos (x) - \frac{d}{d x} (x \cos (x))$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.1.3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Étape 2.1.3.5

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x))) - \cos (x)$

Étape 2.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = \cos (x) + 1 (x (\sin (x))) - \cos (x)$

Étape 2.1.4.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f' (x) = \cos (x) + x \sin (x) - \cos (x)$

Étape 2.1.4.2.3

Soustrayez $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$f' (x) = x \sin (x) + 0$

Étape 2.1.4.2.4

Additionnez $x \sin (x)$ et $0$ .

$f' (x) = x \sin (x)$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x \sin (x)$ .

$x \sin (x)$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x \sin (x) = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x \sin (x) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$\sin (x) = 0$

Étape 3.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.4

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.4.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 3.4.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 3.4.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.4.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.4.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x \sin (x) = 0$ vraie.

$x = 0, 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.6

Consolidez les réponses.

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Étape 3.6.1

Consolidez $0$ et $2 π n$ en $2 π n$ .

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.6.2

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $π n$ .

$π n$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = x \sin (x)$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$ augmente et diminue est $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, π n)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $π n - 1$ dans l’expression.

$f' (π n - 1) = (π n - 1) \sin (π n - 1)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - 1 \sin (π n - 1)$

Étape 6.2.2

Réécrivez $- 1 \sin (π n - 1)$ comme $- \sin (π n - 1)$ .

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ .

$π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

Étape 6.3

Sur $x = π n - 1$ la dérivée est $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, π n)$ .

Diminue sur $(- \infty, π n)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(π n, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $π n + 1$ dans l’expression.

$f' (π n + 1) = (π n + 1) \sin (π n + 1)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + 1 \sin (π n + 1)$

Étape 7.2.2

Multipliez $\sin (π n + 1)$ par $1$ .

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ .

$π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

Étape 7.3

Sur $x = π n + 1$ la dérivée est $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(π n, \infty)$ .

Augmente sur $(π n, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(π n, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, π n)$

Étape 9