Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (x^{2} - 2 x)$

Étape 1

Écrivez $\arctan (x^{2} - 2 x)$ comme une fonction.

$f (x) = \arctan (x^{2} - 2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

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Étape 2.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Étape 2.1.1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Étape 2.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 2.1.2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2 \cdot 1)$

Étape 2.1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2)$

Étape 2.1.2.5.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$f' (x) = (2 x - 2) \frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$ .

$(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 2 = 0$

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Étape 3.3

Définissez $2 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Définissez $2 x - 2$ égal à $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Étape 3.3.2

Résolvez $2 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 2$

Étape 3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 2$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 2$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Étape 3.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Étape 3.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.2.3.1

Divisez $2$ par $2$ .

$x = 1$

Étape 3.4

Définissez $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ égal à $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 3.4.2.2

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$ vraie.

$x = 1$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $1$ .

$1$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = (2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \arctan (x^{2} - 2 x)$ augmente et diminue est $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {({(0)}^{2} - 2 \cdot 0)}^{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {(0 - 2 \cdot 0)}^{2}})$

Étape 6.2.1.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {(0 + 0)}^{2}})$

Étape 6.2.1.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + 0^{2}})$

Étape 6.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + 0})$

Étape 6.2.1.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1})$

Étape 6.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1})$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f' (0) = (2 (0) - 2) \cdot 1$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.2.1

Multipliez $2 (0) - 2$ par $1$ .

$f' (0) = 2 (0) - 2$

Étape 6.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Étape 6.2.2.2.3

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f' (0) = - 2$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 6.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $- 2$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 1)$ .

Diminue sur $(- \infty, 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {({(2)}^{2} - 2 \cdot 2)}^{2}})$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {(4 - 2 \cdot 2)}^{2}})$

Étape 7.2.1.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {(4 - 4)}^{2}})$

Étape 7.2.1.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + 0^{2}})$

Étape 7.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + 0})$

Étape 7.2.1.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1})$

Étape 7.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1})$

Étape 7.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f' (2) = (2 (2) - 2) \cdot 1$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.2.2.1

Multipliez $2 (2) - 2$ par $1$ .

$f' (2) = 2 (2) - 2$

Étape 7.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (2) = 4 - 2$

Étape 7.2.2.2.3

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f' (2) = 2$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 7.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $2$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(1, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 1)$

Étape 9