Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{4}}{x - 15}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{4}}{x - 15}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{4}}{x - 15}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x - 15$ .

$\frac{(x - 15) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 15]}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{(x - 15) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 15]}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Déplacez $4$ à gauche de $x - 15$ .

$\frac{4 \cdot (x - 15) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 15]}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15])}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 15])}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 2.1.2.5

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} (1 + 0)}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} \cdot 1}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 x + 4 \cdot - 15) x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.3.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x) + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 2.1.3.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{3 + 1} + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.1.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{4 x^{4} + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2

Multipliez $4$ par $- 15$ .

$\frac{4 x^{4} - 60 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.2

Soustrayez $x^{4}$ de $4 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} - 60 x^{3}}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 2.1.3.4

Factorisez $3 x^{3}$ à partir de $3 x^{4} - 60 x^{3}$ .

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Étape 2.1.3.4.1

Factorisez $3 x^{3}$ à partir de $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) - 60 x^{3}}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 2.1.3.4.2

Factorisez $3 x^{3}$ à partir de $- 60 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 20)}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 2.1.3.4.3

Factorisez $3 x^{3}$ à partir de $3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 20)$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$ .

$\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 x^{3} (x - 20) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 20 = 0$

Étape 3.3.2

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 3.3.2.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 3.3.2.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 3.3.2.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 3.3.3

Définissez $x - 20$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Définissez $x - 20$ égal à $0$ .

$x - 20 = 0$

Étape 3.3.3.2

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 20$

Étape 3.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x^{3} (x - 20) = 0$ vraie.

$x = 0, 20$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, 20$ .

$0, 20$

Étape 5

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 15)}^{2} = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Définissez le $x - 15$ égal à $0$ .

$x - 15 = 0$

Étape 5.2.2

Ajoutez $15$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 15$

Étape 6

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 15) \cup (15, 20) \cup (20, \infty)$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = \frac{3 {(- 1)}^{3} ((- 1) - 20)}{{((- 1) - 15)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

Soustrayez $20$ de $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{3 {(- 1)}^{3} \cdot - 21}{{(- 1 - 15)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 21$ par $3$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 {(- 1)}^{3}}{{(- 1 - 15)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 \cdot - 1}{{(- 1 - 15)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $15$ de $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 \cdot - 1}{{(- 16)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 \cdot - 1}{256}$

Étape 7.2.3

Multipliez $- 63$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{63}{256}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $\frac{63}{256}$ .

$\frac{63}{256}$

Étape 7.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $\frac{63}{256}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 15)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{15}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{3 {(\frac{15}{2})}^{3} ((\frac{15}{2}) - 20)}{{((\frac{15}{2}) - 15)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{3 (\frac{15^{3}}{2^{3}}) \cdot (\frac{15}{2} - 20)}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Associez $3$ et $\frac{15^{3}}{2^{3}}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{15}{2} - 20)}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 8.2.1.3

Pour écrire $- 20$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{15}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 8.2.1.4

Associez $- 20$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{15}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2})}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 8.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{15 - 20 \cdot 2}{2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 8.2.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.6.1

Multipliez $- 20$ par $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{15 - 40}{2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 8.2.1.6.2

Soustrayez $40$ de $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{- 25}{2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 8.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (- 1 (\frac{25}{2}))}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8

Associez les exposants.

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Étape 8.2.1.8.1

Factorisez le signe négatif.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- (\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{25}{2})}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8.2

Multipliez $\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}}$ par $\frac{25}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3 \cdot 15^{3} \cdot 25}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8.3

Multipliez $25$ par $3$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8.4

Multipliez $2^{3}$ par $2$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.1.8.4.1

Multipliez $2^{3}$ par $2$ .

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Étape 8.2.1.8.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{3 + 1}}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8.4.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{4}}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 8.2.1.9

Élevez $15$ à la puissance $3$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 3375}{2^{4}}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 8.2.1.10

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 3375}{16}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 8.2.1.11

Multipliez $75$ par $3375$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Pour écrire $- 15$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15}{2} - 15 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Associez $- 15$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15}{2} + \frac{- 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15 - 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.4.1

Multipliez $- 15$ par $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15 - 30}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.4.2

Soustrayez $30$ de $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{- 15}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(- \frac{15}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.6

Appliquez la règle de produit à $- \frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{15}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 {(\frac{15}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 (\frac{15^{2}}{2^{2}})}$

Étape 8.2.2.9

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 (\frac{225}{2^{2}})}$

Étape 8.2.2.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 (\frac{225}{4})}$

Étape 8.2.2.11

Multipliez $\frac{225}{4}$ par $1$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{\frac{225}{4}}$

Étape 8.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (\frac{15}{2}) = - \frac{253125}{16} \cdot \frac{4}{225}$

Étape 8.2.4

Annulez le facteur commun de $225$ .

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Étape 8.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{253125}{16}$ dans le numérateur.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 253125}{16} \cdot \frac{4}{225}$

Étape 8.2.4.2

Factorisez $225$ à partir de $- 253125$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{225 (- 1125)}{16} \cdot \frac{4}{225}$

Étape 8.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{225 \cdot - 1125}{16} \cdot \frac{4}{225}$

Étape 8.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{16} \cdot 4$

Étape 8.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{4 (4)} \cdot 4$

Étape 8.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{4 \cdot 4} \cdot 4$

Étape 8.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{4}$

Étape 8.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{15}{2}) = - \frac{1125}{4}$

Étape 8.2.7

La réponse finale est $- \frac{1125}{4}$ .

$- \frac{1125}{4}$

Étape 8.3

Sur $x = \frac{15}{2}$ la dérivée est $- \frac{1125}{4}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 15)$ .

Diminue sur $(0, 15)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(15, 20)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{35}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{3 {(\frac{35}{2})}^{3} ((\frac{35}{2}) - 20)}{{((\frac{35}{2}) - 15)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{35}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{3 (\frac{35^{3}}{2^{3}}) \cdot (\frac{35}{2} - 20)}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 9.2.1.2

Associez $3$ et $\frac{35^{3}}{2^{3}}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{35}{2} - 20)}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 9.2.1.3

Pour écrire $- 20$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{35}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 9.2.1.4

Associez $- 20$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{35}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2})}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 9.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{35 - 20 \cdot 2}{2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 9.2.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1.6.1

Multipliez $- 20$ par $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{35 - 40}{2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 9.2.1.6.2

Soustrayez $40$ de $35$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{- 5}{2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 9.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (- 1 (\frac{5}{2}))}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 9.2.1.8

Associez les exposants.

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Étape 9.2.1.8.1

Factorisez le signe négatif.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- (\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{5}{2})}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 9.2.1.8.2

Multipliez $\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}}$ par $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{3 \cdot 35^{3} \cdot 5}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 9.2.1.8.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 9.2.1.8.4

Multipliez $2^{3}$ par $2$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.1.8.4.1

Multipliez $2^{3}$ par $2$ .

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Étape 9.2.1.8.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 9.2.1.8.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{3 + 1}}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 9.2.1.8.4.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{4}}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 9.2.1.9

Élevez $35$ à la puissance $3$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 42875}{2^{4}}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 9.2.1.10

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 42875}{16}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 9.2.1.11

Multipliez $15$ par $42875$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.1

Pour écrire $- 15$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35}{2} - 15 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Étape 9.2.2.2

Associez $- 15$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35}{2} + \frac{- 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 9.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35 - 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 9.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.2.4.1

Multipliez $- 15$ par $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35 - 30}{2})}^{2}}$

Étape 9.2.2.4.2

Soustrayez $30$ de $35$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Étape 9.2.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{\frac{5^{2}}{2^{2}}}$

Étape 9.2.2.6

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{\frac{25}{2^{2}}}$

Étape 9.2.2.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{\frac{25}{4}}$

Étape 9.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (\frac{35}{2}) = - \frac{643125}{16} \cdot \frac{4}{25}$

Étape 9.2.4

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 9.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{643125}{16}$ dans le numérateur.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 643125}{16} \cdot \frac{4}{25}$

Étape 9.2.4.2

Factorisez $25$ à partir de $- 643125$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{25 (- 25725)}{16} \cdot \frac{4}{25}$

Étape 9.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{25 \cdot - 25725}{16} \cdot \frac{4}{25}$

Étape 9.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{16} \cdot 4$

Étape 9.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{4 (4)} \cdot 4$

Étape 9.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{4 \cdot 4} \cdot 4$

Étape 9.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{4}$

Étape 9.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{35}{2}) = - \frac{25725}{4}$

Étape 9.2.7

La réponse finale est $- \frac{25725}{4}$ .

$- \frac{25725}{4}$

Étape 9.3

Sur $x = \frac{35}{2}$ la dérivée est $- \frac{25725}{4}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(15, 20)$ .

Diminue sur $(15, 20)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Remplacez une valeur de l’intervalle $(20, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $21$ dans l’expression.

$f' (21) = \frac{3 {(21)}^{3} ((21) - 20)}{{((21) - 15)}^{2}}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.1.1

Soustrayez $20$ de $21$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 21^{3} \cdot 1}{{(21 - 15)}^{2}}$

Étape 10.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 21^{3}}{{(21 - 15)}^{2}}$

Étape 10.2.1.3

Élevez $21$ à la puissance $3$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 9261}{{(21 - 15)}^{2}}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.2.1

Soustrayez $15$ de $21$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 9261}{6^{2}}$

Étape 10.2.2.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 9261}{36}$

Étape 10.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.1

Multipliez $3$ par $9261$ .

$f' (21) = \frac{27783}{36}$

Étape 10.2.3.2

Annulez le facteur commun à $27783$ et $36$ .

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Étape 10.2.3.2.1

Factorisez $9$ à partir de $27783$ .

$f' (21) = \frac{9 (3087)}{36}$

Étape 10.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $36$ .

$f' (21) = \frac{9 \cdot 3087}{9 \cdot 4}$

Étape 10.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (21) = \frac{9 \cdot 3087}{9 \cdot 4}$

Étape 10.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (21) = \frac{3087}{4}$

Étape 10.2.4

La réponse finale est $\frac{3087}{4}$ .

$\frac{3087}{4}$

Étape 10.3

Sur $x = 21$ la dérivée est $\frac{3087}{4}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(20, \infty)$ .

Augmente sur $(20, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 11

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 0), (20, \infty)$

Diminue sur : $(0, 15), (15, 20)$

Étape 12