Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$

Étape 1

Écrivez ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$ comme une fonction.

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.8.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.10

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.11

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.12

Associez $2$ et $\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2 (2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3} x + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.13

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} x + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.14

Associez $\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ et $x$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} x}{3} + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.15

Placez ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Étape 2.1.3.2

Additionnez $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 x = 0$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x = 0$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 5

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 5.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 5.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{1}}}$

Étape 5.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

Étape 5.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x^{2} - 1} = 0$

Étape 5.3

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x^{2} - 1})}^{3} = 0^{3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2} - 1}$ comme ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 5.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 5.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 5.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 5.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 {(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{3}$

Étape 5.3.2.2.1.4

Simplifiez

$27 (x^{2} - 1) = 0^{3}$

Étape 5.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$27 x^{2} + 27 \cdot - 1 = 0^{3}$

Étape 5.3.2.2.1.6

Multipliez $27$ par $- 1$ .

$27 x^{2} - 27 = 0^{3}$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 x^{2} - 27 = 0$

Étape 5.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Ajoutez $27$ aux deux côtés de l’équation.

$27 x^{2} = 27$

Étape 5.3.3.2

Divisez chaque terme dans $27 x^{2} = 27$ par $27$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $27 x^{2} = 27$ par $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

Étape 5.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 5.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

Étape 5.3.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{27}{27}$

Étape 5.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.2.3.1

Divisez $27$ par $27$ .

$x^{2} = 1$

Étape 5.3.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 5.3.3.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 5.3.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.3.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 5.3.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 5.3.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 5.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Étape 6

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{3 {({(- 2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 {({(- 2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 {(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Étape 7.2.3

Multipliez $3$ par $3^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $3$ par $3^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 7.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Étape 7.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Étape 7.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Étape 7.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Étape 7.2.3.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 7.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 2) = - \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 7.3

Sur $x = - 2$ la dérivée est $- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 1)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 (\frac{1}{2})}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 8.2.1.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 8.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 8.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 8.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 8.2.2.1.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 8.2.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 8.2.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 8.2.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 8.2.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 8.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1 - 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 8.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1 - 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 8.2.2.5.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{- 3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 8.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(- \frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 8.2.2.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 8.2.2.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}})}$

Étape 8.2.2.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Étape 8.2.2.8

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Étape 8.2.2.9

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Étape 8.2.2.10

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.2.10.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Étape 8.2.2.10.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ((- 1) (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Étape 8.2.2.11

Évaluez l’exposant.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Étape 8.2.3

Divisez $- 4$ par $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Étape 8.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 8.2.4.2

Associez $- 3$ et $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 8.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.5.1

Factorisez le signe négatif.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 8.2.5.2

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 8.2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 8.2.5.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 8.2.5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 8.2.5.6

Additionnez $3$ et $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 8.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{- \frac{3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 8.2.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Étape 8.2.8

Multipliez $- 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$ .

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Étape 8.2.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Étape 8.2.8.2

Associez $2$ et $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 8.2.8.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 8.2.8.4

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 8.2.8.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{3})}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 8.2.8.4.2

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 8.2.8.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{1 + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 8.2.8.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 8.2.8.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{3 + 2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 8.2.8.8

Additionnez $3$ et $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 8.2.9

La réponse finale est $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 8.3

Sur $x = - \frac{1}{2}$ la dérivée est $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 1, 0)$ .

Augmente sur $(- 1, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{3 {({(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {({(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 9.2.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 9.2.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 9.2.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 9.2.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 9.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1 - 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 9.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1 - 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 9.2.2.5.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{- 3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 9.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(- \frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 9.2.2.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 9.2.2.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}})}$

Étape 9.2.2.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Étape 9.2.2.8

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Étape 9.2.2.9

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Étape 9.2.2.10

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.2.10.1

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Étape 9.2.2.10.2

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ((- 1) (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Étape 9.2.2.11

Évaluez l’exposant.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Étape 9.2.3

Divisez $4$ par $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Étape 9.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 9.2.4.2

Associez $- 3$ et $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 9.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.5.1

Factorisez le signe négatif.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 9.2.5.2

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 9.2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 9.2.5.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 9.2.5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 9.2.5.6

Additionnez $3$ et $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 9.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{- \frac{3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 9.2.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Étape 9.2.8

Multipliez $2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$ .

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Étape 9.2.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.8.2

Associez $- 2$ et $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.8.3

Factorisez le signe négatif.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 4^{\frac{1}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.8.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.8.5

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 9.2.8.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{3})})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.8.5.2

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 2^{\frac{2}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.8.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{1 + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.8.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.8.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{3 + 2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.8.9

Additionnez $3$ et $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.10

La réponse finale est $- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.3

Sur $x = \frac{1}{2}$ la dérivée est $- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 1)$ .

Diminue sur $(0, 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{3 {({(2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 {(2^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 {(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.2.3

Multipliez $3$ par $3^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.3.1

Multipliez $3$ par $3^{\frac{1}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (2) = \frac{8}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Étape 10.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Étape 10.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Étape 10.2.3.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.2.4

La réponse finale est $\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Étape 10.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 11

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 1, 0), (1, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - 1), (0, 1)$

Étape 12