Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$

Étape 1

Écrivez $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ comme une fonction.

$f (t) = \frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $136$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}$ par rapport à $t$ est $136 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}]$ .

$136 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}$ comme ${(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 1}$ .

$136 \frac{d}{d t} [{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = 1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

$136 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$136 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2.6

Comme $0.25$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ par rapport à $t$ est $0.25 \frac{d}{d t} [{(t - 4.5)}^{2}]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 \frac{d}{d t} [{(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = t - 4.5$ .

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Étape 2.1.2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $t - 4.5$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $t - 4.5$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - 4.5$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4.5]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4.5])))) + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (1 + \frac{d}{d t} [- 4.5])))) + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2.10

Comme $- 4.5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 4.5$ par rapport à $t$ est $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (1 + 0)))) + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2.12

Multipliez $2$ par $1$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5)))) + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2.13

Multipliez $2$ par $0.25$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.5 (t - 4.5))) + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2.14

Additionnez $0$ et $0.5 (t - 4.5)$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0.5 (t - 4.5))) + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2.15

Multipliez $0.5$ par $- 1$ .

$136 (- 0.5 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5)) + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.2.16

Multipliez $- 0.5$ par $136$ .

$- 68 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5) + \frac{d}{d t} [28]$

Étape 2.1.3

Comme $28$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $28$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- 68 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5) + 0$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 68 \frac{1}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

Étape 2.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.4.2.1

Associez $- 68$ et $\frac{1}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

Étape 2.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

Étape 2.1.4.2.3

Additionnez $- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$ et $0$ .

$- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$

Étape 2.1.4.3

Réorganisez les facteurs de $- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$ .

$- (t - 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$(- t - - 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.4.5

Multipliez $- 1$ par $- 4.5$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.4.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.4.6.1

Réécrivez ${(t - 4.5)}^{2}$ comme $(t - 4.5) (t - 4.5)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 ((t - 4.5) (t - 4.5)))}^{2}}$

Étape 2.1.4.6.2

Développez $(t - 4.5) (t - 4.5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.4.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t (t - 4.5) - 4.5 (t - 4.5)))}^{2}}$

Étape 2.1.4.6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t \cdot t + t \cdot - 4.5 - 4.5 (t - 4.5)))}^{2}}$

Étape 2.1.4.6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t \cdot t + t \cdot - 4.5 - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

Étape 2.1.4.6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.4.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.6.3.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} + t \cdot - 4.5 - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

Étape 2.1.4.6.3.1.2

Déplacez $- 4.5$ à gauche de $t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 4.5 \cdot t - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

Étape 2.1.4.6.3.1.3

Multipliez $- 4.5$ par $- 4.5$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 4.5 t - 4.5 t + 20.25))}^{2}}$

Étape 2.1.4.6.3.2

Soustrayez $4.5 t$ de $- 4.5 t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 9 t + 20.25))}^{2}}$

Étape 2.1.4.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} + 0.25 (- 9 t) + 0.25 \cdot 20.25)}^{2}}$

Étape 2.1.4.6.5

Simplifiez

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Étape 2.1.4.6.5.1

Multipliez $- 9$ par $0.25$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} - 2.25 t + 0.25 \cdot 20.25)}^{2}}$

Étape 2.1.4.6.5.2

Multipliez $0.25$ par $20.25$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} - 2.25 t + 5.0625)}^{2}}$

Étape 2.1.4.6.6

Additionnez $1$ et $5.0625$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.25 t^{2} - 2.25 t + 6.0625)}^{2}}$

Étape 2.1.4.6.7

Factorisez $0.0625$ à partir de $0.25 t^{2} - 2.25 t + 6.0625$ .

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Étape 2.1.4.6.7.1

Factorisez $0.0625$ à partir de $0.25 t^{2}$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) - 2.25 t + 6.0625)}^{2}}$

Étape 2.1.4.6.7.2

Factorisez $0.0625$ à partir de $- 2.25 t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t) + 6.0625)}^{2}}$

Étape 2.1.4.6.7.3

Factorisez $0.0625$ à partir de $6.0625$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t) + 0.0625 (97))}^{2}}$

Étape 2.1.4.6.7.4

Factorisez $0.0625$ à partir de $0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2} - 36 t) + 0.0625 (97))}^{2}}$

Étape 2.1.4.6.7.5

Factorisez $0.0625$ à partir de $0.0625 (4 t^{2} - 36 t) + 0.0625 (97)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2} - 36 t + 97))}^{2}}$

Étape 2.1.4.6.8

Appliquez la règle de produit à $0.0625 (4 t^{2} - 36 t + 97)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{0.0625}^{2} {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Étape 2.1.4.6.9

Élevez $0.0625$ à la puissance $2$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Étape 2.1.4.7

Factorisez $68$ à partir de $68$ .

$(- t + 4.5) \frac{68 (1)}{0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Étape 2.1.4.8

Factorisez $0.00390625$ à partir de $0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}$ .

$(- t + 4.5) \frac{68 (1)}{0.00390625 ({(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2})}$

Étape 2.1.4.9

Séparez les fractions.

$(- t + 4.5) (\frac{68}{0.00390625} \cdot \frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}})$

Étape 2.1.4.10

Divisez $68$ par $0.00390625$ .

$(- t + 4.5) (17408 \frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}})$

Étape 2.1.4.11

Associez $17408$ et $\frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$(- t + 4.5) \frac{17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Étape 2.1.4.12

Multipliez $- t + 4.5$ par $\frac{17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$\frac{(- t + 4.5) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Étape 2.1.4.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.4.13.1

Factorisez $0.5$ à partir de $- t + 4.5$ .

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Étape 2.1.4.13.1.1

Factorisez $0.5$ à partir de $- t$ .

$\frac{(0.5 (- 2 t) + 4.5) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Étape 2.1.4.13.1.2

Factorisez $0.5$ à partir de $4.5$ .

$\frac{(0.5 (- 2 t) + 0.5 (9)) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Étape 2.1.4.13.1.3

Factorisez $0.5$ à partir de $0.5 (- 2 t) + 0.5 (9)$ .

$\frac{0.5 (- 2 t + 9) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Étape 2.1.4.13.2

Multipliez $17408$ par $0.5$ .

$\frac{8704 (- 2 t + 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Étape 2.1.4.14

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 t$ .

$\frac{8704 (- (2 t) + 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Étape 2.1.4.15

Réécrivez $9$ comme $- 1 (- 9)$ .

$\frac{8704 (- (2 t) - 1 (- 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Étape 2.1.4.16

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 t) - 1 (- 9)$ .

$\frac{8704 (- (2 t - 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Étape 2.1.4.17

Réécrivez $- (2 t - 9)$ comme $- 1 (2 t - 9)$ .

$\frac{8704 (- 1 (2 t - 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Étape 2.1.4.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (t) = - \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (t)$ par rapport à $t$ est $- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8704 (2 t - 9) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $t$ .

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $8704 (2 t - 9) = 0$ par $8704$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $8704 (2 t - 9) = 0$ par $8704$ .

$\frac{8704 (2 t - 9)}{8704} = \frac{0}{8704}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $8704$ .

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Étape 3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8704 (2 t - 9)}{8704} = \frac{0}{8704}$

Étape 3.3.1.2.1.2

Divisez $2 t - 9$ par $1$ .

$2 t - 9 = \frac{0}{8704}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $8704$ .

$2 t - 9 = 0$

Étape 3.3.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$2 t = 9$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $2 t = 9$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 t = 9$ par $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{9}{2}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 t}{2} = \frac{9}{2}$

Étape 3.3.3.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{9}{2}$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (t) = - \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (t) = \frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ augmente et diminue est $(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{9}{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $t$ par $\frac{7}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{8704 (2 (\frac{7}{2}) - 9)}{{(4 {(\frac{7}{2})}^{2} - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Multipliez $8704$ par $2 (\frac{7}{2}) - 9$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 {(\frac{7}{2})}^{2} - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{2^{2}}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{4}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Étape 6.2.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{4}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Étape 6.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 + 2 (- 18) (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 + 2 \cdot (- 18 (\frac{7}{2})) + 97)}^{2}}$

Étape 6.2.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 18 \cdot 7 + 97)}^{2}}$

Étape 6.2.2.6

Multipliez $- 18$ par $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 126 + 97)}^{2}}$

Étape 6.2.2.7

Soustrayez $126$ de $49$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(- 77 + 97)}^{2}}$

Étape 6.2.2.8

Additionnez $- 77$ et $97$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{20^{2}}$

Étape 6.2.2.9

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{400}$

Étape 6.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 17408$ et $400$ .

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Étape 6.2.3.1.1

Factorisez $16$ à partir de $- 17408$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 (- 1088)}{400}$

Étape 6.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.1.2.1

Factorisez $16$ à partir de $400$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 \cdot - 1088}{16 \cdot 25}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 \cdot - 1088}{16 \cdot 25}$

Étape 6.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 1088}{25}$

Étape 6.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{1088}{25}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{1088}{25}$ .

$\frac{1088}{25}$

Étape 6.3

Sur $t = \frac{7}{2}$ la dérivée est $\frac{1088}{25}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, \frac{9}{2})$ .

Augmente sur $(- \infty, \frac{9}{2})$ depuis $f' (t) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{9}{2}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $t$ par $\frac{11}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{8704 (2 (\frac{11}{2}) - 9)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez $8704$ par $2 (\frac{11}{2}) - 9$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{11}{2}$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{11^{2}}{2^{2}}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{2^{2}}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{4}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Étape 7.2.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{4}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Étape 7.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Étape 7.2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 + 2 (- 18) (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Étape 7.2.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 + 2 \cdot (- 18 (\frac{11}{2})) + 97)}^{2}}$

Étape 7.2.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 18 \cdot 11 + 97)}^{2}}$

Étape 7.2.2.6

Multipliez $- 18$ par $11$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 198 + 97)}^{2}}$

Étape 7.2.2.7

Soustrayez $198$ de $121$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(- 77 + 97)}^{2}}$

Étape 7.2.2.8

Additionnez $- 77$ et $97$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{20^{2}}$

Étape 7.2.2.9

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{400}$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun à $17408$ et $400$ .

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Étape 7.2.3.1

Factorisez $16$ à partir de $17408$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 (1088)}{400}$

Étape 7.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.2.1

Factorisez $16$ à partir de $400$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 \cdot 1088}{16 \cdot 25}$

Étape 7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 \cdot 1088}{16 \cdot 25}$

Étape 7.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{1088}{25}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- \frac{1088}{25}$ .

$- \frac{1088}{25}$

Étape 7.3

Sur $t = \frac{11}{2}$ la dérivée est $- \frac{1088}{25}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(\frac{9}{2}, \infty)$ .

Diminue sur $(\frac{9}{2}, \infty)$ depuis $f' (t) < 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, \frac{9}{2})$

Diminue sur : $(\frac{9}{2}, \infty)$

Étape 9