Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 70 x + 5$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 70 x + 5$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 70 x + 5$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 70 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} + \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.3.3

Associez $2$ et $\frac{3}{2}$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.3.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$x^{2} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.3.5

Associez $\frac{6}{2}$ et $x$ .

$x^{2} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.3.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.3.6.2.4

Divisez $3 x$ par $1$ .

$x^{2} + 3 x + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 70$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 70 x$ par rapport à $x$ est $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 3 x - 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} + 3 x - 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $- 70$ par $1$ .

$x^{2} + 3 x - 70 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} + 3 x - 70 + 0$

Étape 2.1.5.2

Additionnez $x^{2} + 3 x - 70$ et $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x - 70$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} + 3 x - 70$ .

$x^{2} + 3 x - 70$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} + 3 x - 70 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} + 3 x - 70 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2} + 3 x - 70$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 70$ et dont la somme est $3$ .

$- 7, 10$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 7) (x + 10) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 10 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 3.5

Définissez $x + 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x + 10$ égal à $0$ .

$x + 10 = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 10$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 7) (x + 10) = 0$ vraie.

$x = 7, - 10$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $7, - 10$ .

$7, - 10$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 7) \cup (7, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 10)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 11$ dans l’expression.

$f' (- 11) = {(- 11)}^{2} + 3 (- 11) - 70$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 11$ à la puissance $2$ .

$f' (- 11) = 121 + 3 (- 11) - 70$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $- 11$ .

$f' (- 11) = 121 - 33 - 70$

Étape 6.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $33$ de $121$ .

$f' (- 11) = 88 - 70$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $70$ de $88$ .

$f' (- 11) = 18$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $18$ .

$18$

Étape 6.3

Sur $x = - 11$ la dérivée est $18$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 10)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 10)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 10, 7)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2}) - 70$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3}{2}) - 70$

Étape 7.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2}) - 70$

Étape 7.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 3 (- \frac{3}{2}) - 70$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{3^{2}}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2}) - 70$

Étape 7.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2^{2}} + 3 (- \frac{3}{2}) - 70$

Étape 7.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + 3 (- \frac{3}{2}) - 70$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $3 (- \frac{3}{2})$ .

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Étape 7.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) - 70$

Étape 7.2.1.6.2

Associez $- 3$ et $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} - 70$

Étape 7.2.1.6.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} - 70$

Étape 7.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 70$

Étape 7.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 7.2.2.1

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 70$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 70$

Étape 7.2.2.3

Écrivez $- 70$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 70}{1}$

Étape 7.2.2.4

Multipliez $\frac{- 70}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 70}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 7.2.2.5

Multipliez $\frac{- 70}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 70 \cdot 4}{4}$

Étape 7.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{- 70 \cdot 4}{4}$

Étape 7.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 70 \cdot 4}{4}$

Étape 7.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.4.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 - 70 \cdot 4}{4}$

Étape 7.2.4.2

Multipliez $- 70$ par $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 - 280}{4}$

Étape 7.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.5.1

Soustrayez $18$ de $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9 - 280}{4}$

Étape 7.2.5.2

Soustrayez $280$ de $- 9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 289}{4}$

Étape 7.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{289}{4}$

Étape 7.2.6

La réponse finale est $- \frac{289}{4}$ .

$- \frac{289}{4}$

Étape 7.3

Sur $x = - \frac{3}{2}$ la dérivée est $- \frac{289}{4}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 10, 7)$ .

Diminue sur $(- 10, 7)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(7, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f' (8) = {(8)}^{2} + 3 (8) - 70$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f' (8) = 64 + 3 (8) - 70$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$f' (8) = 64 + 24 - 70$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $64$ et $24$ .

$f' (8) = 88 - 70$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $70$ de $88$ .

$f' (8) = 18$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $18$ .

$18$

Étape 8.3

Sur $x = 8$ la dérivée est $18$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(7, \infty)$ .

Augmente sur $(7, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 10), (7, \infty)$

Diminue sur : $(- 10, 7)$

Étape 10