Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(5 x^{3} - 3)}^{5} \sqrt[4]{- 4 x^{5} - 3}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{- 4 x^{5} - 3}$ comme ${(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5} {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(5 x^{3} - 3)}^{5}$ et $g (x) = {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}}$ .

${(5 x^{3} - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}}] + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ et $g (x) = - 4 x^{5} - 3$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- 4 x^{5} - 3$ .

${(5 x^{3} - 3)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [- 4 x^{5} - 3]) + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{4}$ .

${(5 x^{3} - 3)}^{5} (\frac{1}{4} {u_{1}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [- 4 x^{5} - 3]) + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 4 x^{5} - 3$ .

${(5 x^{3} - 3)}^{5} (\frac{1}{4} {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [- 4 x^{5} - 3]) + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

${(5 x^{3} - 3)}^{5} (\frac{1}{4} {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [- 4 x^{5} - 3]) + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

${(5 x^{3} - 3)}^{5} (\frac{1}{4} {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [- 4 x^{5} - 3]) + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(5 x^{3} - 3)}^{5} (\frac{1}{4} {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [- 4 x^{5} - 3]) + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

${(5 x^{3} - 3)}^{5} (\frac{1}{4} {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [- 4 x^{5} - 3]) + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 7.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

${(5 x^{3} - 3)}^{5} (\frac{1}{4} {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [- 4 x^{5} - 3]) + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

${(5 x^{3} - 3)}^{5} (\frac{1}{4} {(- 4 x^{5} - 3)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [- 4 x^{5} - 3]) + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{4}$ et ${(- 4 x^{5} - 3)}^{- \frac{3}{4}}$ .

${(5 x^{3} - 3)}^{5} (\frac{{(- 4 x^{5} - 3)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [- 4 x^{5} - 3]) + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 8.3

Placez ${(- 4 x^{5} - 3)}^{- \frac{3}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(5 x^{3} - 3)}^{5} (\frac{1}{4 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [- 4 x^{5} - 3]) + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{4 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$ et ${(5 x^{3} - 3)}^{5}$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{5}}{4 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [- 4 x^{5} - 3] + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{5} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{5}}{4 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 10

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{5}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{5}}{4 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} (- 4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{5}}{4 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} (- 4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 12

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{5}}{4 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} (- 20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 13

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{5}}{4 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} (- 20 x^{4} + 0) + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 14

Simplifiez les termes.

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Étape 14.1

Additionnez $- 20 x^{4}$ et $0$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{5}}{4 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} (- 20 x^{4}) + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 14.2

Associez $- 20$ et $\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{5}}{4 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{- 20 {(5 x^{3} - 3)}^{5}}{4 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} x^{4} + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 14.3

Associez $\frac{- 20 {(5 x^{3} - 3)}^{5}}{4 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$ et $x^{4}$ .

$\frac{- 20 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4}}{4 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 14.4

Factorisez $4$ à partir de $- 20 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4}$ .

$\frac{4 (- 5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4})}{4 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 15

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4 (- 5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4})}{4 ({(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}})} + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- 5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4})}{4 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{3} - 3)}^{5}]$

Étape 17

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = 5 x^{3} - 3$ .

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Étape 17.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x^{3} - 3$ .

$- \frac{5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 3])$

Étape 17.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- \frac{5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 3])$

Étape 17.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x^{3} - 3$ .

$- \frac{5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} + {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} (5 {(5 x^{3} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 3])$

Étape 18

Différenciez.

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Étape 18.1

Déplacez $5$ à gauche de ${(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}}$ .

$- \frac{5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} + 5 \cdot {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} {(5 x^{3} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [5 x^{3} - 3]$

Étape 18.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{3} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- \frac{5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} + 5 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} {(5 x^{3} - 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 18.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} + 5 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} {(5 x^{3} - 3)}^{4} (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 18.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} + 5 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} {(5 x^{3} - 3)}^{4} (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 18.5

Multipliez $3$ par $5$ .

$- \frac{5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} + 5 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} {(5 x^{3} - 3)}^{4} (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 18.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} + 5 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} {(5 x^{3} - 3)}^{4} (15 x^{2} + 0)$

Étape 18.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 18.7.1

Additionnez $15 x^{2}$ et $0$ .

$- \frac{5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} + 5 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} {(5 x^{3} - 3)}^{4} (15 x^{2})$

Étape 18.7.2

Multipliez $15$ par $5$ .

$- \frac{5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} + 75 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} {(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2}$

Étape 19

Pour écrire $75 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} {(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$- \frac{5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}} + \frac{75 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} {(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4} + 75 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}} {(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 21

Multipliez ${(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}}$ par ${(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 21.1

Déplacez ${(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{- 5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4} + 75 ({(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}} {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{1}{4}}) {(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 21.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4} + 75 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} {(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 21.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4} + 75 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3 + 1}{4}} {(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 21.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{- 5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4} + 75 {(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{4}{4}} {(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 21.5

Divisez $4$ par $4$ .

$\frac{- 5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4} + 75 {(- 4 x^{5} - 3)}^{1} {(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 22

Simplifiez $75 {(- 4 x^{5} - 3)}^{1} {(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2}$ .

$\frac{- 5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4} + 75 (- 4 x^{5} - 3) {(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23

Simplifiez

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Étape 23.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4} + (75 (- 4 x^{5}) + 75 \cdot - 3) {(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 23.2.1

Factorisez ${(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2}$ à partir de $- 5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4} + (75 (- 4 x^{5}) + 75 \cdot - 3) {(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2}$ .

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Étape 23.2.1.1

Factorisez ${(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2}$ à partir de $- 5 {(5 x^{3} - 3)}^{5} x^{4}$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} (- 5 (5 x^{3} - 3) x^{2}) + (75 (- 4 x^{5}) + 75 \cdot - 3) {(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2}}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.2.1.2

Factorisez ${(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2}$ à partir de $(75 (- 4 x^{5}) + 75 \cdot - 3) {(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2}$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} (- 5 (5 x^{3} - 3) x^{2}) + {(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} (75 (- 4 x^{5}) + 75 \cdot - 3)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.2.1.3

Factorisez ${(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2}$ à partir de ${(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} (- 5 (5 x^{3} - 3) x^{2}) + {(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} (75 (- 4 x^{5}) + 75 \cdot - 3)$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} (- 5 (5 x^{3} - 3) x^{2} + 75 (- 4 x^{5}) + 75 \cdot - 3)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.2.2

Associez les exposants.

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Étape 23.2.2.1

Multipliez $- 4$ par $75$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} (- 5 (5 x^{3} - 3) x^{2} - 300 x^{5} + 75 \cdot - 3)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.2.2.2

Multipliez $75$ par $- 3$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} (- 5 (5 x^{3} - 3) x^{2} - 300 x^{5} - 225)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} ((- 5 (5 x^{3}) - 5 \cdot - 3) x^{2} - 300 x^{5} - 225)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.2.3.2

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} ((- 25 x^{3} - 5 \cdot - 3) x^{2} - 300 x^{5} - 225)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.2.3.3

Multipliez $- 5$ par $- 3$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} ((- 25 x^{3} + 15) x^{2} - 300 x^{5} - 225)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} (- 25 x^{3} x^{2} + 15 x^{2} - 300 x^{5} - 225)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.2.3.5

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 23.2.3.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} (- 25 (x^{2} x^{3}) + 15 x^{2} - 300 x^{5} - 225)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.2.3.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} (- 25 x^{2 + 3} + 15 x^{2} - 300 x^{5} - 225)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.2.3.5.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} (- 25 x^{5} + 15 x^{2} - 300 x^{5} - 225)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.2.4

Soustrayez $300 x^{5}$ de $- 25 x^{5}$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} (- 325 x^{5} + 15 x^{2} - 225)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.2.5

Factorisez $5$ à partir de $- 325 x^{5} + 15 x^{2} - 225$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.2.5.1

Factorisez $5$ à partir de $- 325 x^{5}$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} (5 (- 65 x^{5}) + 15 x^{2} - 225)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.2.5.2

Factorisez $5$ à partir de $15 x^{2}$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} (5 (- 65 x^{5}) + 5 (3 x^{2}) - 225)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.2.5.3

Factorisez $5$ à partir de $- 225$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} (5 (- 65 x^{5}) + 5 (3 x^{2}) + 5 (- 45))}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.2.5.4

Factorisez $5$ à partir de $5 (- 65 x^{5}) + 5 (3 x^{2})$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} (5 (- 65 x^{5} + 3 x^{2}) + 5 (- 45))}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.2.5.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (- 65 x^{5} + 3 x^{2}) + 5 (- 45)$ .

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} (5 (- 65 x^{5} + 3 x^{2} - 45))}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

$\frac{{(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} \cdot 5 (- 65 x^{5} + 3 x^{2} - 45)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.3

Déplacez $5$ à gauche de ${(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2}$ .

$\frac{5 {(5 x^{3} - 3)}^{4} x^{2} (- 65 x^{5} + 3 x^{2} - 45)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5 x^{2} {(5 x^{3} - 3)}^{4} (- 65 x^{5} + 3 x^{2} - 45)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 65 x^{5}$ .

$\frac{5 x^{2} {(5 x^{3} - 3)}^{4} (- (65 x^{5}) + 3 x^{2} - 45)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.6

Factorisez $- 1$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} {(5 x^{3} - 3)}^{4} (- (65 x^{5}) - (- 3 x^{2}) - 45)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (65 x^{5}) - (- 3 x^{2})$ .

$\frac{5 x^{2} {(5 x^{3} - 3)}^{4} (- (65 x^{5} - 3 x^{2}) - 45)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.8

Réécrivez $- 45$ comme $- 1 (45)$ .

$\frac{5 x^{2} {(5 x^{3} - 3)}^{4} (- (65 x^{5} - 3 x^{2}) - 1 (45))}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (65 x^{5} - 3 x^{2}) - 1 (45)$ .

$\frac{5 x^{2} {(5 x^{3} - 3)}^{4} (- (65 x^{5} - 3 x^{2} + 45))}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.10

Réécrivez $- (65 x^{5} - 3 x^{2} + 45)$ comme $- 1 (65 x^{5} - 3 x^{2} + 45)$ .

$\frac{5 x^{2} {(5 x^{3} - 3)}^{4} (- 1 (65 x^{5} - 3 x^{2} + 45))}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(5 x^{2} {(5 x^{3} - 3)}^{4}) (65 x^{5} - 3 x^{2} + 45)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 23.12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(5 x^{2} {(5 x^{3} - 3)}^{4}) (65 x^{5} - 3 x^{2} + 45)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$- \frac{5 x^{2} {(5 x^{3} - 3)}^{4} (65 x^{5} - 3 x^{2} + 45)}{{(- 4 x^{5} - 3)}^{\frac{3}{4}}}$