Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(4 x^{2} - 14)}^{- 10}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 10}$ et $g (x) = 4 x^{2} - 14$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x^{2} - 14$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 10}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 14]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 10$ .

$- 10 u^{- 11} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 14]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x^{2} - 14$ .

$- 10 {(4 x^{2} - 14)}^{- 11} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 14]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - 14$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14]$ .

$- 10 {(4 x^{2} - 14)}^{- 11} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14])$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 10 {(4 x^{2} - 14)}^{- 11} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 10 {(4 x^{2} - 14)}^{- 11} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 14])$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$- 10 {(4 x^{2} - 14)}^{- 11} (8 x + \frac{d}{d x} [- 14])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1

Comme $- 14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 14$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 10 {(4 x^{2} - 14)}^{- 11} (8 x + 0)$

Étape 4.2

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$- 10 {(4 x^{2} - 14)}^{- 11} (8 x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 10 \frac{1}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}} (8 x)$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Associez $- 10$ et $\frac{1}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}}$ .

$\frac{- 10}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}} (8 x)$

Étape 5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}} (8 x)$

Étape 5.2.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$- 8 \frac{10}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}} x$

Étape 5.2.4

Associez $- 8$ et $\frac{10}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}}$ .

$\frac{- 8 \cdot 10}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}} x$

Étape 5.2.5

Multipliez $- 8$ par $10$ .

$\frac{- 80}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}} x$

Étape 5.2.6

Associez $\frac{- 80}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}}$ et $x$ .

$\frac{- 80 x}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}}$

Étape 5.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{80 x}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2} - 14$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$- \frac{80 x}{{(2 (2 x^{2}) - 14)}^{11}}$

Étape 5.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 14$ .

$- \frac{80 x}{{(2 (2 x^{2}) + 2 (- 7))}^{11}}$

Étape 5.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2}) + 2 (- 7)$ .

$- \frac{80 x}{{(2 (2 x^{2} - 7))}^{11}}$

Étape 5.3.2

Appliquez la règle de produit à $2 (2 x^{2} - 7)$ .

$- \frac{80 x}{2^{11} {(2 x^{2} - 7)}^{11}}$

Étape 5.3.3

Élevez $2$ à la puissance $11$ .

$- \frac{80 x}{2048 {(2 x^{2} - 7)}^{11}}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $80$ et $2048$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $16$ à partir de $80 x$ .

$- \frac{16 (5 x)}{2048 {(2 x^{2} - 7)}^{11}}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $16$ à partir de $2048 {(2 x^{2} - 7)}^{11}$ .

$- \frac{16 (5 x)}{16 (128 {(2 x^{2} - 7)}^{11})}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{16 (5 x)}{16 (128 {(2 x^{2} - 7)}^{11})}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{5 x}{128 {(2 x^{2} - 7)}^{11}}$