Calcul infinitésimal Exemples

$y = \tan^{-1} (\sqrt{4 t})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \tan^{-1} (t)$ et $g (t) = \sqrt{4 t}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sqrt{4 t}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\tan^{-1} (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sqrt{4 t}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

Étape 2

Réécrivez $\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$ comme $\frac{d}{d t} [2 \sqrt{t}]$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{2^{2} t}]$

Étape 2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t}]$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 11

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 12

Associez $2$ et $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2 t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 13

Placez $t^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Associez des termes.

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Étape 16.1.1

Réécrivez $\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ comme $\frac{1}{1 + {(2 \sqrt{t})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 16.1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{2^{2} t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.1.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{1 + {(2 \sqrt{t})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{t}$ .

$\frac{1}{1 + {(2 (\sqrt{t}))}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.1.3

Appliquez la règle de produit à $2 (\sqrt{t})$ .

$\frac{1}{1 + 2^{2} {\sqrt{t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 {\sqrt{t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.1.5

Réécrivez ${\sqrt{t}}^{2}$ comme $t$ .

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Étape 16.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + 4 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + 4 t^{1}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.1.5.5

Simplifiez

$\frac{1}{1 + 4 t} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.1.6

Multipliez $\frac{1}{1 + 4 t}$ par $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{(1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t)}$