Calcul infinitésimal Exemples

$y = \tan (\sqrt{5 t})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \tan (t)$ et $g (t) = \sqrt{5 t}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sqrt{5 t}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [\sqrt{5 t}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [\sqrt{5 t}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sqrt{5 t}$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \frac{d}{d t} [\sqrt{5 t}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 t}$ comme ${(5 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \frac{d}{d t} [{(5 t)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 t$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \frac{d}{d t} [{(5 (t))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de produit à $5 (t)$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \frac{d}{d t} [5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Comme $5^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 9

Associez $5^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \frac{5^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 10

Placez $t^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\sec^{2} (\sqrt{5 t})$ et $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec^{2} (\sqrt{5 t}) \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (\sqrt{5 t})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$