Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 \cot^{2} (\sin (t))$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 \cot^{2} (\sin (t))$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [\cot^{2} (\sin (t))]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\cot^{2} (\sin (t))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = \cot (\sin (t))$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cot (\sin (t))$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cot (\sin (t))])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cot (\sin (t))])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cot (\sin (t))$ .

$5 (2 \cot (\sin (t)) \frac{d}{d t} [\cot (\sin (t))])$

Étape 3

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 (\cot (\sin (t)) \frac{d}{d t} [\cot (\sin (t))])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cot (t)$ et $g (t) = \sin (t)$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (t)$ .

$10 \cot (\sin (t)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Étape 4.2

La dérivée de $\cot (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$10 \cot (\sin (t)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (t)$ .

$10 \cot (\sin (t)) (- \csc^{2} (\sin (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$- 10 \cot (\sin (t)) (\csc^{2} (\sin (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Étape 6

La dérivée de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $\cos (t)$ .

$- 10 \cot (\sin (t)) \csc^{2} (\sin (t)) \cos (t)$

Étape 7

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Étape 7.1

Réorganisez les facteurs de $- 10 \cot (\sin (t)) \csc^{2} (\sin (t)) \cos (t)$ .

$- 10 \csc^{2} (\sin (t)) \cos (t) \cot (\sin (t))$

Étape 7.2

Réécrivez $\csc (\sin (t))$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 10 {(\frac{1}{\sin (\sin (t))})}^{2} \cos (t) \cot (\sin (t))$

Étape 7.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (\sin (t))}$ .

$- 10 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\sin (t))} \cos (t) \cot (\sin (t))$

Étape 7.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 10 \frac{1}{\sin^{2} (\sin (t))} \cos (t) \cot (\sin (t))$

Étape 7.5

Associez $- 10$ et $\frac{1}{\sin^{2} (\sin (t))}$ .

$\frac{- 10}{\sin^{2} (\sin (t))} \cos (t) \cot (\sin (t))$

Étape 7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10}{\sin^{2} (\sin (t))} \cos (t) \cot (\sin (t))$

Étape 7.7

Associez $\cos (t)$ et $\frac{10}{\sin^{2} (\sin (t))}$ .

$- \frac{\cos (t) \cdot 10}{\sin^{2} (\sin (t))} \cot (\sin (t))$

Étape 7.8

Déplacez $10$ à gauche de $\cos (t)$ .

$- \frac{10 \cdot \cos (t)}{\sin^{2} (\sin (t))} \cot (\sin (t))$

Étape 7.9

Réécrivez $\cot (\sin (t))$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{10 \cos (t)}{\sin^{2} (\sin (t))} \cdot \frac{\cos (\sin (t))}{\sin (\sin (t))}$

Étape 7.10

Multipliez $- \frac{10 \cos (t)}{\sin^{2} (\sin (t))} \cdot \frac{\cos (\sin (t))}{\sin (\sin (t))}$ .

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Étape 7.10.1

Multipliez $\frac{\cos (\sin (t))}{\sin (\sin (t))}$ par $\frac{10 \cos (t)}{\sin^{2} (\sin (t))}$ .

$- \frac{\cos (\sin (t)) (10 \cos (t))}{\sin (\sin (t)) \sin^{2} (\sin (t))}$

Étape 7.10.2

Multipliez $\sin (\sin (t))$ par $\sin^{2} (\sin (t))$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.10.2.1

Multipliez $\sin (\sin (t))$ par $\sin^{2} (\sin (t))$ .

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Étape 7.10.2.1.1

Élevez $\sin (\sin (t))$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\cos (\sin (t)) (10 \cos (t))}{\sin^{1} (\sin (t)) \sin^{2} (\sin (t))}$

Étape 7.10.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\cos (\sin (t)) (10 \cos (t))}{{\sin (\sin (t))}^{1 + 2}}$

Étape 7.10.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{\cos (\sin (t)) (10 \cos (t))}{\sin^{3} (\sin (t))}$

Étape 7.11

Déplacez $10$ à gauche de $\cos (\sin (t))$ .

$- \frac{10 \cdot \cos (\sin (t)) \cos (t)}{\sin^{3} (\sin (t))}$

Étape 7.12

Factorisez $\sin (\sin (t))$ à partir de $\sin^{3} (\sin (t))$ .

$- \frac{10 \cos (\sin (t)) \cos (t)}{\sin (\sin (t)) \sin^{2} (\sin (t))}$

Étape 7.13

Séparez les fractions.

$- (\frac{10 \cos (t)}{\sin^{2} (\sin (t))} \cdot \frac{\cos (\sin (t))}{\sin (\sin (t))})$

Étape 7.14

Convertissez de $\frac{\cos (\sin (t))}{\sin (\sin (t))}$ à $\cot (\sin (t))$ .

$- (\frac{10 \cos (t)}{\sin^{2} (\sin (t))} \cot (\sin (t)))$

Étape 7.15

Factorisez $\sin (\sin (t))$ à partir de $\sin^{2} (\sin (t))$ .

$- (\frac{10 \cos (t)}{\sin (\sin (t)) \sin (\sin (t))} \cot (\sin (t)))$

Étape 7.16

Séparez les fractions.

$- (\frac{10}{\sin (\sin (t))} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (\sin (t))} \cot (\sin (t)))$

Étape 7.17

Réécrivez $\frac{\cos (t)}{\sin (\sin (t))}$ comme un produit.

$- (\frac{10}{\sin (\sin (t))} (\cos (t) \frac{1}{\sin (\sin (t))}) \cot (\sin (t)))$

Étape 7.18

Écrivez $\cos (t)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- (\frac{10}{\sin (\sin (t))} (\frac{\cos (t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (t))}) \cot (\sin (t)))$

Étape 7.19

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Étape 7.19.1

Divisez $\cos (t)$ par $1$ .

$- (\frac{10}{\sin (\sin (t))} (\cos (t) \frac{1}{\sin (\sin (t))}) \cot (\sin (t)))$

Étape 7.19.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (\sin (t))}$ à $\csc (\sin (t))$ .

$- (\frac{10}{\sin (\sin (t))} (\cos (t) \csc (\sin (t))) \cot (\sin (t)))$

Étape 7.20

Séparez les fractions.

$- (\frac{10}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (t))} (\cos (t) \csc (\sin (t))) \cot (\sin (t)))$

Étape 7.21

Convertissez de $\frac{1}{\sin (\sin (t))}$ à $\csc (\sin (t))$ .

$- (\frac{10}{1} \csc (\sin (t)) (\cos (t) \csc (\sin (t))) \cot (\sin (t)))$

Étape 7.22

Divisez $10$ par $1$ .

$- (10 \csc (\sin (t)) (\cos (t) \csc (\sin (t))) \cot (\sin (t)))$

Étape 7.23

Multipliez $10 \csc (\sin (t)) (\cos (t) \csc (\sin (t)))$ .

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Étape 7.23.1

Élevez $\csc (\sin (t))$ à la puissance $1$ .

$- (10 (\csc^{1} (\sin (t)) \csc (\sin (t))) \cos (t) \cot (\sin (t)))$

Étape 7.23.2

Élevez $\csc (\sin (t))$ à la puissance $1$ .

$- (10 (\csc^{1} (\sin (t)) \csc^{1} (\sin (t))) \cos (t) \cot (\sin (t)))$

Étape 7.23.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (10 {\csc (\sin (t))}^{1 + 1} \cos (t) \cot (\sin (t)))$

Étape 7.23.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (10 \csc^{2} (\sin (t)) \cos (t) \cot (\sin (t)))$

Étape 7.24

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$- 10 \csc^{2} (\sin (t)) \cos (t) \cot (\sin (t))$