Calcul infinitésimal Exemples

$u = \sqrt[7]{t^{2}} + 2 \sqrt{t^{5}}$

Étape 1

Cette dérivée n’a pas pu être terminée avec la règle d’enchaînement. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt[7]{t^{2}} + 2 \sqrt{t^{5}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\sqrt[7]{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt[7]{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [\sqrt[7]{t^{2}}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{t^{2}}$ comme $t^{\frac{2}{7}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{2}{7}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{7} t^{\frac{2}{7} - 1} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2}{7} t^{\frac{2}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2}{7} t^{\frac{2}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{7} t^{\frac{2 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{2}{7} t^{\frac{2 - 7}{7}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Étape 3.6.2

Soustrayez $7$ de $2$ .

$\frac{2}{7} t^{\frac{- 5}{7}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$ .

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t^{5}}$ comme $t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{5}{2}}]$

Étape 4.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{5}{2}}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} - 1})$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 (\frac{5}{2} t^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 (\frac{5}{2} t^{\frac{5 - 2}{2}})$

Étape 4.7.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 (\frac{5}{2} t^{\frac{3}{2}})$

Étape 4.8

Associez $\frac{5}{2}$ et $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 4.9

Associez $2$ et $\frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{2 (5 t^{\frac{3}{2}})}{2}$

Étape 4.10

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{10 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 4.11

Factorisez $2$ à partir de $10 t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{2 (5 t^{\frac{3}{2}})}{2}$

Étape 4.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{2 (5 t^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Étape 4.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{2 (5 t^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{1}$

Étape 4.12.4

Divisez $5 t^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 5 t^{\frac{3}{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{t^{\frac{5}{7}}} + 5 t^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{2}{7}$ par $\frac{1}{t^{\frac{5}{7}}}$ .

$\frac{2}{7 t^{\frac{5}{7}}} + 5 t^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7 t^{\frac{5}{7}}}$