Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 8}{{(3 t - 2)}^{6}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t^{2} + 8$ et $g (t) = {(3 t - 2)}^{6}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{({(3 t - 2)}^{6})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 t - 2)}^{6})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{6 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 8$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (2 t + \frac{d}{d t} [8]) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 2.4

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $8$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (2 t + 0) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (2 t) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 2.5.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(3 t - 2)}^{6}$ .

$\frac{2 \cdot {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{6}$ et $g (t) = 3 t - 2$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 t - 2$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) (6 u^{5} \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 t - 2$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) (6 {(3 t - 2)}^{5} \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t - 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 4.3

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 4.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 4.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 + 0))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} \cdot 3)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 4.7.2

Déplacez $3$ à gauche de ${(3 t - 2)}^{5}$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) (3 \cdot {(3 t - 2)}^{5})}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 4.7.3

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 18 (t^{2} + 8) {(3 t - 2)}^{5}}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t + (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Factorisez ${(3 t - 2)}^{5}$ à partir de $2 {(3 t - 2)}^{6} t + (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez ${(3 t - 2)}^{5}$ à partir de $2 {(3 t - 2)}^{6} t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t) + (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.2.1.2

Factorisez ${(3 t - 2)}^{5}$ à partir de $(- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t) + {(3 t - 2)}^{5} (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.2.1.3

Factorisez ${(3 t - 2)}^{5}$ à partir de ${(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t) + {(3 t - 2)}^{5} (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t - 18 t^{2} - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 t - 2) t - 18 t^{2} - 18 \cdot 8$ .

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 t - 2) t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t) - 18 t^{2} - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 18 t^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t) + 2 (- 9 t^{2}) - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.2.2.3

Factorisez $2$ à partir de $- 18 \cdot 8$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t) + 2 (- 9 t^{2}) + 2 (- 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.2.2.4

Factorisez $2$ à partir de $2 ((3 t - 2) t) + 2 (- 9 t^{2})$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t - 9 t^{2}) + 2 (- 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.2.2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 ((3 t - 2) t - 9 t^{2}) + 2 (- 9 \cdot 8)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t \cdot t - 2 t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.2.4

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.4.1

Déplacez $t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 (t \cdot t) - 2 t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t^{2} - 2 t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.2.5

Multipliez $- 9$ par $8$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t^{2} - 2 t - 9 t^{2} - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.2.6

Soustrayez $9 t^{2}$ de $3 t^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (- 6 t^{2} - 2 t - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.2.7

Factorisez $2$ à partir de $- 6 t^{2} - 2 t - 72$ .

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Étape 5.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 t^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2}) - 2 t - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.2.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2}) + 2 (- t) - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.2.7.3

Factorisez $2$ à partir de $- 72$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2}) + 2 (- t) + 2 (- 36)))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.2.7.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3 t^{2}) + 2 (- t)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2} - t) + 2 (- 36)))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.2.7.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3 t^{2} - t) + 2 (- 36)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2} - t - 36)))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 \cdot 2 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.2.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} \cdot 4 (- 3 t^{2} - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.3

Associez des termes.

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Étape 5.3.1

Déplacez $4$ à gauche de ${(3 t - 2)}^{5}$ .

$\frac{4 \cdot {(3 t - 2)}^{5} (- 3 t^{2} - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun à ${(3 t - 2)}^{5}$ et ${(3 t - 2)}^{12}$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez ${(3 t - 2)}^{5}$ à partir de $4 {(3 t - 2)}^{5} (- 3 t^{2} - t - 36)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (4 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Étape 5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez ${(3 t - 2)}^{5}$ à partir de ${(3 t - 2)}^{12}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (4 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{5} {(3 t - 2)}^{7}}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (4 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{5} {(3 t - 2)}^{7}}$

Étape 5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (- 3 t^{2} - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Étape 5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2}) - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- t$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2}) - (t) - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Étape 5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 t^{2}) - (t)$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2} + t) - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Étape 5.7

Réécrivez $- 36$ comme $- 1 (36)$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2} + t) - 1 (36))}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Étape 5.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 t^{2} + t) - 1 (36)$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2} + t + 36))}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Étape 5.9

Réécrivez $- (3 t^{2} + t + 36)$ comme $- 1 (3 t^{2} + t + 36)$ .

$\frac{4 (- 1 (3 t^{2} + t + 36))}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Étape 5.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 (3 t^{2} + t + 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$