Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sec^{-1} (2 s^{3} + 4)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ est $f' (g (s)) g' (s)$ où $f (s) = \sec^{-1} (s)$ et $g (s) = 2 s^{3} + 4$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 s^{3} + 4$ .

$\frac{d}{d u} [\sec^{-1} (u)] \frac{d}{d s} [2 s^{3} + 4]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sec^{-1} (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d s} [2 s^{3} + 4]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 s^{3} + 4$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} \frac{d}{d s} [2 s^{3} + 4]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 s^{3} + 4$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [2 s^{3}] + \frac{d}{d s} [4]$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} (\frac{d}{d s} [2 s^{3}] + \frac{d}{d s} [4])$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d s} [2 s^{3}]$ .

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $2 s^{3}$ par rapport à $s$ est $2 \frac{d}{d s} [s^{3}]$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} (2 \frac{d}{d s} [s^{3}] + \frac{d}{d s} [4])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} (2 (3 s^{2}) + \frac{d}{d s} [4])$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} (6 s^{2} + \frac{d}{d s} [4])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $4$ par rapport à $s$ est $0$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} (6 s^{2} + 0)$

Étape 4.2

Additionnez $6 s^{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} (6 s^{2})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez des termes.

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Étape 5.1.1

Associez $6$ et $\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}}$ .

$\frac{6}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} s^{2}$

Étape 5.1.2

Associez $\frac{6}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}}$ et $s^{2}$ .

$\frac{6 s^{2}}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}}$

Étape 5.1.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $2 s^{3} + 4$ .

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Étape 5.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6 s^{2}$ .

$\frac{2 (3 s^{2})}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}}$

Étape 5.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}$ .

$\frac{2 (3 s^{2})}{2 ((s^{3} + 2) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1})}$

Étape 5.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 s^{2})}{2 ((s^{3} + 2) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1})}$

Étape 5.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 s^{2}}{(s^{3} + 2) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 s^{2}}{\sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1} (s^{3} + 2)}$