Calcul infinitésimal Exemples

$C x (1 - e^{- k x})$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Comme $C x$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $C x (1 - e^{- k x})$ par rapport à $k$ est $C x \frac{d}{d k} [1 - e^{- k x}]$ .

$C x \frac{d}{d k} [1 - e^{- k x}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - e^{- k x}$ par rapport à $k$ est $\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [- e^{- k x}]$ .

$C x (\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [- e^{- k x}])$

Étape 1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $1$ par rapport à $k$ est $0$ .

$C x (0 + \frac{d}{d k} [- e^{- k x}])$

Étape 1.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d k} [- e^{- k x}]$ .

$C x \frac{d}{d k} [- e^{- k x}]$

Étape 1.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $- e^{- k x}$ par rapport à $k$ est $- \frac{d}{d k} [e^{- k x}]$ .

$C x (- \frac{d}{d k} [e^{- k x}])$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ est $f' (g (k)) g' (k)$ où $f (k) = e^{k}$ et $g (k) = - k x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- k x$ .

$C x (- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [- k x]))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$C x (- (e^{u} \frac{d}{d k} [- k x]))$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- k x$ .

$C x (- (e^{- k x} \frac{d}{d k} [- k x]))$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1

Comme $- x$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $- k x$ par rapport à $k$ est $- x \frac{d}{d k} [k]$ .

$C x (- e^{- k x} (- x \frac{d}{d k} [k]))$

Étape 3.2

Multipliez.

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Étape 3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$C x (1 e^{- k x} (x \frac{d}{d k} [k]))$

Étape 3.2.2

Multipliez $e^{- k x}$ par $1$ .

$C x (e^{- k x} (x \frac{d}{d k} [k]))$

Étape 4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$C (x^{1} x) (e^{- k x} (\frac{d}{d k} [k]))$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$C (x^{1} x^{1}) (e^{- k x} (\frac{d}{d k} [k]))$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$C x^{1 + 1} (e^{- k x} (\frac{d}{d k} [k]))$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$C x^{2} (e^{- k x} (\frac{d}{d k} [k]))$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ est $n k^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$C x^{2} (e^{- k x} \cdot 1)$

Étape 9

Multipliez $e^{- k x}$ par $1$ .

$C x^{2} e^{- k x}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Réorganisez les facteurs de $C x^{2} e^{- k x}$ .

$e^{- k x} x^{2} C$

Étape 10.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- k x} x^{2} C$ .

$x^{2} C e^{- k x}$