Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d}{d x} (\frac{a x - 2}{x^{3} - a})$

Étape 1

Cette dérivée n’a pas pu être terminée avec la règle d’enchaînement. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d a} [\frac{f (a)}{g (a)}]$ est $\frac{g (a) \frac{d}{d a} [f (a)] - f (a) \frac{d}{d a} [g (a)]}{{g (a)}^{2}}$ où $f (a) = a x - 2$ et $g (a) = x^{3} - a$ .

$\frac{(x^{3} - a) \frac{d}{d a} [a x - 2] - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a x - 2$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [- 2]$ .

$\frac{(x^{3} - a) (\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $x$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $a x$ par rapport à $a$ est $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 3.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $a$ est $0$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x + 0) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 3.6

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - a$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 3.8

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $x^{3}$ par rapport à $a$ est $0$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (0 + \frac{d}{d a} [- a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 3.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d a} [- a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) \frac{d}{d a} [- a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $- a$ par rapport à $a$ est $- \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (- \frac{d}{d a} [a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 3.11

Multipliez.

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Étape 3.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + 1 (a x - 2) \frac{d}{d a} [a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 3.11.2

Multipliez $a x - 2$ par $1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + (a x - 2) \frac{d}{d a} [a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + (a x - 2) \cdot 1}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 3.13

Multipliez $a x - 2$ par $1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + a x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} x - a x + a x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Associez les termes opposés dans $x^{3} x - a x + a x - 2$ .

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Étape 4.2.1.1

Additionnez $- a x$ et $a x$ .

$\frac{x^{3} x + 0 - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $x^{3} x$ et $0$ .

$\frac{x^{3} x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} x^{1} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3 + 1} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{x^{4} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$